A természetben és a mindennapi életünkben egyaránt számos olyan jelenséggel és formával találkozunk, amelyek mélységes szimbolikus jelentést hordoznak, miközben komplex fizikai és matematikai alapokon nyugszanak. A spirál, a csiga - akár mint élőlény, akár mint mechanikai eszköz - és a fraktálok világa ezen összefüggések gazdag tárházát kínálják. Ez a cikk arra vállalkozik, hogy bemutassa ezen fogalmak sokrétűségét, a természeti inspirációktól kezdve a szimbolikus értelmezéseken át, egészen a fizikai törvényszerűségekig és a matematikai absztrakciókig.
A Spirál és a Csiga Szimbolikus Jelentése: Az Út és a Ciklikusság
A spirál egyike azoknak az ősi formáknak, amelyet természeti formák inspiráltak és inspirálnak: csigaház, kígyó, indák, s immár a spirálgalaxisokat is ide sorolhatjuk. Ez a forma nemcsak a fizikai világban, hanem a kozmoszban is jelen van, például a spirálgalaxisokban. A spirál elsősorban az út jelképe, amely önmagunkhoz, a belső középponthoz és a külső világ felfedezéséhez egyaránt vezethet.
A csiga állat szimbolikája is szorosan csatlakozik a ciklikussághoz, ahhoz, hogy minden mindig változik és megvan mindennek a maga ritmusa. Az élet számos aspektusa ezen a ciklikus változáson alapszik: alvás és ébrenlét, aktivitás-pihenés, kint-bent, belégzés-kilégzés egyaránt a ciklikus változáson alapszik. A csiga lassúsága és spirális mozgása különleges spirituális üzenetet hordoz. A csiga arra figyelmeztet, hogy lassan, spirálszerű körökben vonuljunk időnként vissza bensőnkbe, a középponthoz, ahol megtaláljuk régi dolgainkat, a karmikus hozadékot. Ezt feldolgozva a kifelé haladó lassú úton elengedjük a feleslegeset, a halott részeket és helyet teremtünk az új befogadására.
A csiga a föld és a víz őselemek (női) erejét is jelképezi, a csigavonal termékenységi archetípus is. Emellett a csiga védelmet is nyújt: a csigaház szimbolizálja azt a biztonságos helyet, ahová visszahúzódhatunk, és amely megvéd a külső hatásoktól. A spirál sokkal több, mint egyszerű forma. Ez az univerzum mozgásának lenyomata, amely a precessziót és a Nagy Napciklusokat jelképezi. A csiga tanítása az, hogy az életet lassan, tudatosan, de folyamatos fejlődéssel éljük meg. Segít megnyitni elménket más dimenziók és energiamezők felé.
Az életünk során felmerülő kérdésekre, a makacsul és saját befolyásomon kívül ciklikusan megjelenő azonos típusú eseményekre és jelenségekre, a konokul visszatérő hasonló problémákra sokszor keressük a választ. Az a gyanú, hogy életünk valamilyen szövevényes rendszer mentén rendeződik pont úgy, ahogyan zajlik, elvezethet minket olyan területekre, mint az asztrológia. Az asztrológiához például olyan átfogó kérdések vezettek el, amelyekre más módon nem kaptam választ. Magától értetődően következnek a további kérdések: mit tud tenni az egyén a tőle független erőkkel szemben vagy azokkal együttműködve, hol vannak a határok. Ma már nemigen teszek fel kérdéseket, hiszen minden válasz után 10-15 új kérdés keletkezik. A felismerésekből összeálló mozaik azonban mindig kiegészül néhány darabbal és gazdagítja ismereteimet, alakítja világképemet. Végső soron mindig is azt vallottam, hogy a kiindulópontnál és a célnál sokkal fontosabb az úton járni, s ehhez továbbra is a legkitűnőbb kísérő számomra az asztrológia, melyet szeretett tanáromtól, dr. Nagy Róberttől tanultam. Az 1990-ig funkcionáló Körösi Csoma Sándor Intézet Asztrológia tagozatán végeztem.
Az asztrológia vezetett el a reinkarnációs utazáshoz, utaztatáshoz is, amit 1994-től gyakoroltam, néha most is gyakorolok. Kiegészítésként betekintést nyertem még más tanácsadó-jóseszközök használatába: cigány- és tarot kártya, rúna, numerológia, Ji csing. Energetikai jellegű tanfolyamokat végeztem (Reiki, Arolo, Szellemgyógyászat, angyaltanfolyam). Elég jól ismerem az ugyancsak energiákkal dolgozó Feng Shuit is. Lelkes híve vagyok a kineziológiának. Az egyéni tanácsadáson kívül több, mint 30 éve tanítok, kidolgoztam egy intenzív tanfolyamot, amit csoportosan és egyénileg, levelező rendszerben is lehet végezni. Miután az egyik legfontosabb dolognak tartom a karma rendező elvének megnyilvánulásait, az ezt jelölő Holdcsomó köré építve 2000 óta, egy-egy társsal együtt speciális karmatréningeket vezetek, kisebb-nagyobb szünetekkel. A csigához hasonlóan ezek a ciklikus folyamatok is az életünk ritmusát és fejlődését tükrözik.
A Csiga, Mint Háziállat és Hobbilehetőség: Kun Veronika Világa
A csigák nem csupán szimbolikus és spirituális jelentőséggel bírnak, hanem sokak számára különleges háziállatok és egy szenvedélyes hobbi tárgyai is. Kun Veronika, a MÁV forgalmi szolgálattevője és csigatenyésztő, otthonát több mint 300 példánnyal osztja meg. Ha valaki úgy gondolja, hogy félreolvasta az imént közölt információt, akkor megnyugtatom: jól látott mindent, a kolléganőnk különleges csigafajokat tenyészt.
Bár a csigákat a francia konyhaművészet és a szépségipar is lelkesen „használja” - így rögtön lehetne néhány tippünk tartásuk okára -, ebben az esetben mégis másról van szó. A csiga egészen szokatlan háziállat, de Kun Veronika számára legfőképp a szenvedélye. Elsősorban különböző színvariációkat tenyészt ki, ebből sejthető, hogy az esztétikájukba szeretett bele. 2017-ben költözött el otthonról és érezte, hogy kell egy hobbi, ami leköt. Akkoriban látott egy csigás képet az interneten és elkezdett érdeklődni irántuk. A dolog nagyon megtetszett és belevágott. Egyébként, ha messzebbre tekintünk, akkor megemlítendő, hogy már gyerekkorában is nagy izgalommal gyűjtötte a szebb példányokat az eső után.
Az egzotikus állatok több szempontból is különlegesek. Az Achát csiga például egy kimondottan nagyméretű faj, kicsit az ősvilághoz tartozik. Méretét tekintve az Achatina achatina, amit mindenki imád, ezeket hívják óriás afrikai tigriscsigának. De ott van az Archachatina marginata ovum is, ami szintén hatalmas, és rengeteg színvariációja létezik a fehértől egészen a feketéig. Kun Veroniikánál ebből kilencféle található meg. Itt elmondanám, hogy - a közhiedelemmel ellentétben - a színvariációk emlegetésekor a csigák testére gondolunk, tehát nem a házukról van szó. A házuk színére általában a fajnévből lehet következtetni, viszont vannak csigák, amelyeknek a különböző házszín variációi is eltérőek, így az ő színnevük sokszor a házukon alapul. Rajtuk kívül Madagaszkárról is vannak példányai, él nála a kis kék barbadosi faj, míg a Diszkosz csigák kubaiak, de uruguayi példányok is gazdagítják a családot. A zöldszínű és a kéttónusú achát csigákat nagyon szereti, az abszolút kedvencei viszont a Megalobulimusok. A felsorolást elhallgatva úgy érzem, hogy az egész világot lefedik a „kis” jövevényei.
Csiga beszerzés és tartás
A különlegesebb fajtákat szerencsés esetben importőrökön keresztül szerzi be, most viszont van egy dél-amerikai kontaktja, akinek a segítségével maga szerezheti be a különlegesebb fajtákat. Egyébként állategészségügyi kapukon keresztül hozzuk be az élőlényeket, így teljesen szabályos a folyamat és az állatoknak sem eshet bántódásuk. Ha szüksége van egy új fajra, akkor az interneten keres egzotikus állatkereskedőket, ők hébe-hóba csigákkal is foglalkoznak. Különlegesebb útvonalakból sincs hiány, előfordult már, hogy közvetlenül Dél-Afrikából jutott csigához. Ők repülőgéppel érkeztek Magyarországra, expressz küldeményként. Ez talán meglepőnek tűnhet, de egy csiga akár két hetet is kibír a dobozban, a lényeg, hogy legyen bent neki elegendő élelem, és ne kerüljön hidegbe.
A csigák elsősorban növényevők, de nagyon sok kalciumra és fehérjére van szükségük ahhoz, hogy szép legyen a házuk, ezért speciális keverékkel egészíti ki az étrendjüket. Két-három naponta kapnak zöldségeket, ez az emésztésükkel szinkronban van. Abszolút, nagyon-nagyon cukik, amikor picik. Ilyenkor még gyorsan másznak, kúsznak, esznek. Ahogy nőnek, úgy lassulnak le. A szaporodásuk is érdekes, mert meszes héjú petéket raknak, amelyek egy madárfészek tartalmára hasonlítanak leginkább. Valamelyik fajnak 2,5 centisek a tojásai, míg másoknak alig pár milliméteresek. Kikeléskor már teljesen kemény házzal rendelkeznek, ami persze még vékonyabb a megszokottnál. Nagyjából másfél év alatt érik el a felnőtt méretüket. Ezt követően már csak belülről vastagodik tovább a házuk. A növéssel kapcsolatban érdekes lehet, hogy az kívülről befelé történik, általában 3 rétegben. Az első egy hártyás fehérjeréteg, ami a pigmentjeiket tartalmazza - ez adja a ház színét, alatta van egy kristályos kalcium szakasz, amelyeket fehérjeháló fon össze, végül belül gyöngyház fedheti mindezt.
Malakológia és a csigák tudománya
A csigákról szóló szakirodalom, a malakológia, rendkívül gazdag. Kun Veronika angolul műveli ki magát csigákból. A csigás könyvek nem olcsók, egy viszonylag új kiadvány ára 30.000 forint körül mozog, viszont nagyon sok csigát megismert belőlük. A legtöbb szakkönyv általában azzal foglalkozik, hogy milyen a ház, ez egyébként a malakológia tudományához tartozik. A szakértők minden apróságra kitérnek, például a születéskori csíkozottságra, mintázottságra, textúrára, a szájadék színére. Ez alapján rengeteg csigafaj elkülöníthető.
A csigatartás nem olcsó hobbi. Egy nap sajnos csak 24 órából áll, szóval nagyon jól be kell osztani a szabadidőt. Ezen kívül nem is olcsó, az állatok tartása főleg télen húzós az etetés miatt. A beszerzésük viszont még ennél is drágább, vannak olyan csigái, amiknek darabja 22.000 forint, nem is beszélve a szállítási költségről. Az mindenképp fenntarthatóbbá teszi a folyamatot, hogy néha el tud adni egy-két állatot. Nagyon drága fajokat viszont nem vásárolhat, mert van egy reális keret, amit nem léphet túl. Illetve még egy dolog vet gátat ezeknek a beszerzéseknek: néhány gyönyörű és drága faj természetvédelmi státusza kérdéses, mert nem tartoznak a veszélyeztetett kategóriába, pedig ott lenne a helyük. E tekintetben felelős csigatartó, nem akarja kizsákmányolni a természetet, főleg úgy, hogy ezeknek az állatoknak nagyon kis százaléka marad fogságban is életben.
Kun Veronika közösségi hálózatokon keresztül ismerkedett meg más csigakedvelőkkel. Van egy menetirányító, aki vett már tőle csigát. Érdekes volt, mert megismerkedtek a csigás csoportban, megkötötték az üzletet, majd rájöttek, hogy mindketten vasutasok. Ugyanez megtörtént egy debreceni munkatársával is. A csigák bárkinek megfelelő háziállatok. Az a jó bennük, hogy nem büdösek, nem hangosak, hipoallergének és nem harapnak. Kis odafigyeléssel könnyen tarthatók, még egy kisgyerek is megérti, hogy mivel lehet őket etetni, ha pedig odafigyelünk rájuk, nagyjából tíz évig jó társaink lehetnek.
A Csiga, Mint Mechanikai Eszköz: Az Álló- és Mozgócsiga Fizikája
A "csiga" szó a magyar nyelvben nemcsak az állatra, hanem egy egyszerű gépre, a tárcsára vagy görgőre is utal, amelyet erőkifejtés irányának megváltoztatására vagy erő csökkentésére használnak. Vizsgáljuk meg a csigák fizikai működését!
Az állócsiga
A legegyszerűbb csiga az állócsiga. Ezt használják például az építkezéseken, hogy egy vödörnyi maltert, betont vagy téglákat feljuttassanak egy felsőbb emeletre, ugyanis az ember számára sokkal kényelmesebb lefelé kifejteni húzóerőt, mint felfelé. Az állócsiga a tengelyénél (a közepénél) van felfüggesztve, és a kötél egyik szárán a teher van, a másik szárát pedig húzzuk. A legegyszerűbb esetben a kút vizét is egy állócsigával húzzák fel (az már bonyolultabb, amikor áttétel is van).
Nézzük meg, hogy az állócsiga használatakor mekkora erőt kell kifejtenünk! Lépésről lépésre gondoljuk végig az ébredő erők nagyságát, az egyszerűség kedvéért abban az esetben, amikor a teher áll (vagy az emelés egyenletes sebességgel zajlik; tehát a teher gyorsulása nulla). Szintén az egyszerűség kedvéért az ideális esetet vizsgáljuk (vagyis a kötél nyújthatatlan és tömeg nélküli, valamint sehol sincs súrlódás, légellenállás).
Haladjunk sorban tovább: az egyszerűség kedvéért a kötél tömegét hanyagoljuk el. Ha a kötélnek lenne tömege, az elbonyolítaná a helyzetet, mert akkor egy függőleges kötél két végén nem ugyanakkora erő ébredne. Hiszen nyugalomban a kötélre a két végén ébredő kötélerőn kívül még hatna a kötélre ható nehézségi erő, és ezen 3 db erőnek kellene kioltania egymást. De ők csak úgy lehetnek összesen nullák, ha a kötélerők különböznek. A csiga túloldalán ébredő kötélerőt a forgó mozgás dinamikája alapján találhatjuk ki.
Most újra a kötél két végén ébredő erőt gondoljuk meg. Utolsónak már csak a kötél legvégét kell átgondolni. Összegezve a meggondolásainkat, azt mondhatjuk, hogy az állócsiga csak a szükséges erő irányát változtatja meg. Azonban ne becsüljük ezt le. Ha egész nap kell húzkodni felfelé a vödröt, akkor nagyon is számít, hogy kényelmetlenül (hajlott derékkal) felfelé kell húznunk a kötelet, vagy egyenesen állva lefelé kell húzni.
Tekintsük át a fontosabb erőket egyetlen ábrán: ha nem elégszünk meg azzal, hogy kényelmesebb irányú erőt kell kifejtenünk (például mert a teher olyan nehéz, hogy semmilyen irányban nem tudunk a súlyával azonos nagyságú erőt kifejteni), akkor valahogy el kellene érni, hogy a csiga (csigák) segítségével lecsökkenjen a szükséges erő. Ehhez a csigák közül valamelyiknek mozognia is kell (nemcsak forognia), tehát a teher emelése során a csigának haladó mozgást is kell végeznie, nemcsak a TKP-ja körüli forgó mozgást. Az ilyen csigát mozgócsigának hívjuk.
Állócsiga ferde kötéllel húzva
Változtat-e a szükséges húzóerőn, ha az állócsigát használva a kötelet nem függőlegesen húzzuk, hanem ferdén? Nézzük meg lépésről-lépésre ezt is! Azt már tudjuk, hogy a teherre ható nehézségi erő megjelenik a kötélben a csigánál. A kötélben mindig csak kötélirányú erő ébredhet (erre merőleges nem, mert oldalirányban a kötél hajlik; oldalirányú erő csak a merev rúdban lehetséges). Mivel a csiga a TKP-ja körüli forgómozgás szempontjából nyugalomban van, és a kötélerőkön kívül más erők nem hatnak rá, amiknek TKP körüli forgatónyomatéka lenne, ezért a két oldalon a kötélerők forgatónyomatékainak egyenlőnek kell lenni. De mivel az erőkarja mindkét kötélerőnek a csiga r sugara, így a kötélerőknek is azonosnak kell lenniük.
Az igazsághoz hozzátartozik, hogy ha a csigára bal oldalon egy függőleges kötélerő hat, a jobb oldalon pedig egy ferde kötélerő, akkor ezek eredőjének lesz vízszintes komponense is. Ha a csiga felfüggesztése merev (rúd), akkor a csiga függőleges marad (mert a felfüggesztés tud vízszintes erőt is kifejteni a csigára, hogy a rá ható erők eredője nulla legyen), de ha a csiga felfüggesztése hajlékony (kötél), akkor a felfüggesztés elhajlik, hogy a ferde tartókötélben ébredő ferde kötélerő kompenzálja a jobb oldali kötélerő vízszintes komponensét.
Mozgócsiga
A mozgócsiga esetében a teher emeléséhez szükséges erő mértéke csökken, de az elmozdulás mértéke növekszik. A csiga a nehézségi erő miatt lezuhanna, ezért mindenképpen kell egy rá ható függőlegesen felfelé mutató erő, ami a lezuhanását megakadályozza. Ha ez középen hat rá, akkor az egy állócsiga lesz, amit az imént tárgyaltunk. Hogyan lehetne máshogy megakadályozni a csiga lezuhanását? Úgy, hogy a csigára ható kötélerő felfelé húzza a csigát. Vagyis a köteleknek nem lefelé kell indulniuk a csigától, hanem felfelé. Ez esetben mindkét kötélerő felfelé hat, így a teher (ami lefelé erőt fejt ki), nem lehet egyik kötélszárhoz sem rögzítve, hanem a terhet a csiga közepéhez kell rögzítenünk. A kötél másik szárát pedig húznunk kell felfelé.
Megint lépésről lépésre haladva nézzük meg, hogy milyen nagyságú és irányú erők ébrednek a rendszerben (megint nulla gyorsulású és ideális esetet tekintve). Álljunk meg egy kis időre, megemészteni a lényeget: a mozgócsiga lényege, hogy a teher súlyát elosztja két kötélszár között, így a húzóerő a teher súlyának a fele. Vonjuk le a tanulságot, ügyelve a körülményekre: a mozgócsiga tehát lehetővé teszi, hogy kisebb erővel emeljünk nagyobb súlyt.
Mozgócsiga és állócsiga kombinációk
Az állócsigát és a mozgócsigát kombinálhatjuk is. Nézzük az alábbi, egyszerű elrendezést, melyben 1 db állócsiga és 1 db mozgócsiga van. Ez a legegyszerűbb csiga kombináció. Most már nem kell minden apró lépést megtennünk, hiszen tudjuk, hogy egy állócsiga illetve egy mozgócsiga hogyan viselkedik. Alkalmazzuk az eddigi eredményeinket! (Hívjuk be őket a RAM-ból, és így nagyobb "ugrásokkal", gyorsabban tudunk haladni.) Összegezzük, mit kaptunk eredményül: a kombinált csiga elrendezésekkel még jelentősebben csökkenthető a szükséges erőkifejtés. Gyönyörködjünk el egy kicsit abban, hogy már milyen sok mindent értünk.
Adja magát, hogy a mozgócsiga mozdulatlan kötelét nem külön rögzítsük felül valami fix ponthoz, hanem ha már az állócsigánk úgyis rögzítve van, ezért az annak alján általában megtalálható kampóhoz vagy egyszerű furathoz is felfüggeszthetjük. Vajon ez módosítja a szükséges húzóerőt? Menjünk megint lépésről-lépésre! Az egyértelmű, hogy a teherre ható G nehézségi erő megjelenik a mozgócsiga alján. A mozgócsiga két oldalán lesz két kötélerő. Ezek muszáj, hogy ugyanakkorák legyenek, mivel ez a csiga forgómozgás szempontjából nyugalomban van. Rajzoljuk be az erőket az eddigieknél nagyobb hosszokkal, hogy jobban látható legyen minden.
Ez így biztosan nem lehet nyugalomban, hiszen a csigára 3 erő hat, amiből 2 függőleges, de a jobb oldali kötélerőnek van vízszintes komponense, vagyis a csigának ebben a helyzetben van vízszintes gyorsulása. Ennek hatására a mozgócsiga elindul balra, és majd ettől a helytől balra fog egyensúlyi helyzetbe kerülni, méghozzá úgy, hogy a kötélerők vízszintes komponensei azonosak legyenek. De mivel a kötélerők azonos nagyságúak (a forgás miatt), ezért a kötélerők függőleges komponensei is azonosak lesznek, tehát a kötelek ugyanakkora szöget fognak bezárni a függőlegessel. Ennek a két, enyhén ferde K kötélerőnek a Ky függőleges komponensei fognak egyensúlyba lenni a G nagyságú lefelé húzó erővel. De mivel a K kötélerők majdnem függőlegesek, ezért majdnem ugyanakkorák, mint a saját függőleges komponenseik. Így szinte most is igaz, hogy a kötélerők feleakkorák, mint a teher súlya. Tehát ha külön rögzített fix kötél helyett azt a felette lévő állócsiga aljához rögzítjük, ettől még jó közelítéssel igaz marad, hogy a mozgócsiga köteleiben ébredő erők fele akkorák, mint a közepét lefelé húzó terhelő erő.
Fraktálok és a Mandelbrot-halmaz: A Végtelen Komplexitás
A spirál és a csiga formái mellett a természetben és a matematikában egyaránt találkozunk olyan bonyolult, önhasonló struktúrákkal, amelyeket fraktáloknak nevezünk. Míg az euklideszi geometria kockákat, gömböket, stb. használ a formák leírására, a természetben nemcsak euklideszi idomok vannak, hanem olyan szabálytalan, kaotikusnak hívjuk őket, de mégis rendezett formák, amelyek a fraktál geometria tárgykörébe tartoznak. Benoit B. Mandelbrot nevezte el őket, és a fraktálok a 20. század egyik legizgalmasabb matematikai felfedezését jelentik.
A fraktálok olyan geometriai alakzatok, amelyek önhasonlóak, vagyis részei hasonlítanak az egészre, bármilyen nagyításban is vizsgáljuk őket. A fraktálokat úgy lehet jellemezni, hogy ha elvégzünk egy műveletet a fraktálon, akkor fraktál lesz a végeredmény. Az önhasonlóság egy tankönyvi példája a Koch-görbe is. Egy másik fraktál az a „felhő”, amely az ismétlődő események hatására alakul ki. A fraktálokat úgy állítjuk elő, hogy veszünk egy dolgot, kettévágjuk és osztjuk fel, majd megismételjük ezt az eljárást m darabbal ad infinitum. A fraktálokat jellemzi a méretfüggetlenség, az önhasonlóság, az iterációval való létrejövetel, a határvonalak dimenziója tört szám lehet és általában végtelen a területük.
A Mandelbrot-halmaz az egyik legismertebb és legszebb fraktál. A halmazt Benoit B. Mandelbrotról, az IBM Thomas J. Watson kutatóközpontjának munkatársáról nevezték el. A Mandelbrot-halmaz határa főként törtes, de annál egyszersmind sokkal több is. A halmazon belüli számok lassan körbevonulnak vagy körbetáncolnak. A halmaz a nevezett óriási kétdimenziós számsík közepét foglalja el. A fekete részhez tartozó pontok nem menekülnek, a fehér részhez tartozó pontok viszont a végtelenbe menekülnek.
Komplex számok és az iterációs folyamat
A Mandelbrot-halmaz megértéséhez szükségünk van a komplex számok fogalmára. Az „összetett” vagy „komplex” szónak két értelme van itt most. Az első, hétköznapi értelemben azt jelenti, hogy a számok összehasonlíthatatlanul bonyolultabbak, mint a valós számok. A szónak van egy második, inkább szakmai jelentése is: a komplex szám olyan szám, amely történeti okokból valósnak és képzetesnek nevezett részből áll. Egy komplex szám két részből áll, amelyek közül az elsőt valós, a másodikat képzetes résznek nevezzük. Ezt a két részét nevezhetjük akár Incinek és Fincinek is. Például a 7+4i egy komplex szám, melynek valós része 7 (Inci) és képzetes része 4i (Finci).
A komplex számokat egy sík pontjaival ábrázoljuk, melyet komplex síknak nevezünk. Hogy megtaláljuk például a 7+4i-t, kezdjük a munkát a 0 komplex számmal, vagyis 0+0i-vel. Ezután mérjünk fel hét egységet keletre, majd négy egységet északra. Az eredményül kapott pont ábrázolja a 7+4i komplex számot. A komplex sík az ilyen számok megszámlálhatatlan végtelenjéből áll. Egy komplex szám valós és képzetes része lehet negatív szám, tört vagy tizedestört is lehet. Két komplex szám összeadása vagy szorzása egyszerű. Például (3+0i) + (7+2i) = 10+2i lesz. A komplex számok szorzása csak kissé bonyolultabb: (3+0i) * (7+2i) = 21+6i lesz. A szorzásnál be kell vonni a játékba: i*i egyenlő -1-gyel.
A Mandelbrot-halmazt egy egyszerű iterációs folyamat állítja elő. Kezdetben z értéke legyen egyenlő a 0 komplex számmal. Aztán számoljuk ki z négyzetét, adjuk hozzá c-t, a komplex sík azon pontjának értékét, amelyet éppen vizsgálni akarunk. Ez a c érték az a kezdeti érték, amelyet minden egyes pontra elvégzünk. Az első eredmény éppen c lesz. Ezt az eredményt helyettesítsük be újra a z helyére a c2+c kifejezésben! Az új összeg c2+c. Az eredmény z2+c lesz. A folyamat lényege az, hogy az előző lépés eredményét helyettesítjük be újra a z helyére, és az iterációt sokszor megismételjük. Ez egy végtelen folyamat, amely során a z értéke nagyságában és előjelét is változtathatja. A számítógép előállítja az eredményül kapott képet.
Mit is értünk vajon egy komplex szám nagyságán? Mivel a komplex számok a komplex sík pontjainak felelnek meg, a távolság fogalma megfelelőnek látszik. Egy komplex szám nagysága a szóban forgó szám 0 ponttól mért távolságával egyenlő. A távolságot úgy számítjuk ki, hogy vesszük a komplex szám valós és képzetes része négyzetének összegét, majd vonjunk gyököt az összegből. Például a 7+4i nagysága: 7 négyzetének és 4 négyzetének összege 49+16=65. Az eredmény 65 összeg négyzetgyöke, vagyis körülbelül 8,062.
A Mandelbrot-halmazt azok a komplex számok alkotják, amelyekre a fenti iterációs folyamat elvégzése után is véges marad a z értéke.
Programok a Mandelbrot-halmaz megjelenítéséhez
Két számítógépprogram is bemutatható, amelyek a Mandelbrot-halmazt ábrázolják. Az egyik ilyen program ihlette azt a programot, amelyet MANDELZOOMnak neveztek el. A programok három részből állnak. Az első részben deklarálunk egy pic (kép) nevű tömböt, amelyre a képek megőrzéséhez lesz szükség. A felhasználóknak, akik a programot futtatják, felszerelésükhöz és alkatukhoz illő tömböt kell választaniuk. A második részben a felhasználó meghatározza a komplex sík egy négyzetes területét. Meghatározzák a kép jobb felső pontjának valós és képzetes részét, és a bal alsó pontjának valós és képzetes részét egyenként megadják. A program ezután beállítja a pic tömböt úgy, hogy az a kérdéses négyzethez illeszkedjék.
A program lelke a harmadik rész, ahol a komplex sík minden egyes pontjára elvégezzük az iterációs folyamatot. A program minden pont esetében elvégzi a z = z*z + c iterációt, kezdve z = 0+0i értékkel. C eközben a komplex sík vizsgált pontjának felel meg. A program arra kíváncsi, hogy a z-érték nagysága elérte-e a 2-t. Vajon miért olyan fontos a 2-es szám? Az iterációk során, ha a z abszolút értéke meghaladja a 2-t, akkor az érték a végtelenbe tart, és nem része a Mandelbrot-halmaznak. Ha a z nagysága meghaladja a 2-t, akkor ez a pont kívül esik a Mandelbrot-halmazhoz tartozó tartományon. Viszonylag sok pont értéke éri el a 2-t, s helye ezzel a végtelenbe kerül. A program a count változóban tárolja, hogy hány iteráció után érte el a z a 2-t. Ezt a count értéket ezután a megfelelő képelemnél a képernyőn meg is jeleníti.
A vizualizáció során a színeket a count értékéhez rendeljük. Például, ha a count értéke 1, legyen kék; ha 2, legyen vörös. A Mandelbrot-halmazon belüli pontok (amelyek sohasem érik el a 2-t) színe fekete. A többi szín kiosztását a tartományának meghatározásáig nem írjuk elő. Ahogy a fraktál megjelenik a monitoron, a felhasználó hozzárendeli a teljes színskálát ehhez. Ezért Hubbard azt ajánlja, hogy csak a count értékét rögzítsük a pic tömb egyes elemeire, így a felhasználó tetszése szerint oszthatja fel a színskálát. A fekete-fehér monitorral nem rendelkező olvasók fekete-fehérrel is dolgozhatnak. A maximális count értéke ízlés szerinti.
A teljesítményre képes vajon egy személyi számítógép "gumiobjektívje"? A nagyítás mértéke bizonyos mértékben attól függ, hogy a gép mekkora számokkal képes dolgozni. Egy tipikus, 8088-as mikroprocesszort használó IBM PC gépen a számok hosszúsága 32 bitre növelhető. Ezzel a pontossággal körülbelül 100000-szeres nagyítás valósítható meg. Speciális programozási technikák a pontosságot értékes jegyek százaira is képesek fokozni.
A Mandelbrot-halmaz jellemzői
A Mandelbrot-halmazt, mint tudományos felfedezést, sokan vizsgálják. Hol kell a komplex síkot átkutatnunk? Pontosan hol? „Ahol a baby Mandelbrotok vannak”. A Mandelbrot-halmaz sok olyan részletet tartalmaz, amely egy picike, az anyahalmazhoz hasonló formájú alakzat. A halmaz külső részén rengeteg apró, az anyahalmazhoz hasonló formájú alakzat kacsok tobzódnak előttünk spirálisan és sorokba rendeződve. Ezekhez hidacskák kapcsolódnak. Némelyiküknek indája van, amelyek középről ágaznak szét. Ezek a "baby Mandelbrotok" a komplex síkon csaknem bárhol megtalálhatók, és csaknem minden méretben előfordulnak, néhányat láthatunk közülük bármely adott nagyítás mellett.
Megjelenésük megtévesztő. Annak ellenére, hogy látszólag különállóak, a Mandelbrot-halmaz összefüggő, és a "baby Mandelbrotok" is rostokkal csatlakoznak az anyahalmazhoz. M. K. Jankins és Shishikura két független elméleti tételt bizonyítottak: Mandelbrot-halmaz összefüggő.
Iteratív Folyamatok és Attraktorok a Számelméletben
A Mandelbrot-halmaz iteratív természete mellett léteznek más, egyszerűbbnek tűnő iterációs eljárások is, amelyek szintén érdekes szerkezetek megjelenéséhez vezetnek, de nem geometriai, hanem kombinatorikai szerkezetek. Ilyen például egy egyszerű eljárás, amelynek során két számjegyet összeadunk és annak négyzetét vesszük.
Tekintsünk egy példát: vegyünk egy 0 és 99 közé eső egész számot, mondjuk a 73-at. Számoljuk ki a számjegyek négyzetének összegét: 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58. Ezt a 58-at ismételjük meg: 5^2 + 8^2 = 25 + 64 = 89. Folytatva a folyamatot, a következő számok sorozata jön létre:73 -> 58 -> 89 -> 145 -> 42 -> 20 -> 4 -> 16 -> 37 -> 58…Láthatjuk, hogy a 58 ismét megjelenik, ezzel egy ciklust hozva létre. Ez a négy szám, az 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37 sorozata azután végtelenül ismétlődik. Az 58-tól kezdve egy 9 elemű ciklus alakul ki. A folyamat addig ismétlődik, amíg a kapott szám azután ciklushoz nem vezet.
Az ilyen sorozatokat diagramban is ábrázolhatjuk. Minden szám egy különálló pont. Ha az A számból B-t eredményez, a megfelelő pontokat nyíllal kössük össze. Példánkban egy nyílnak mutatnia az 59-es számból kiindulva a 81-eshez. Ezek a diagramok kézzel vagy számítógéppel is elkészíthetők. Az ábrák átláthatóbbak lesznek azzal, ha sorrendbe rakjuk a számokat a körben és elvégezzük történő újrarajzolásuk oly módon, hogy két nyíl ne keresztezze egymást. Még tovább is mehetünk. A diagramok egyes részei azonos párokban fordulnak elő, és minden rész szimmetrikus. Felmerül a kérdés, hogy tudjuk-e magyarázni ezt a szimmetriát?
Mi történne, ha 0 és 99 helyett a 0 és 119 közé eső egész számokat használnánk? A 120-as rendszerben (modulus) az iteráció 120-as ciklusának kialakulását eredményezi, ami egy folyamatos ingadozáshoz vezet. A ciklusnak mindössze egyetlen eleme is lehet.
Attraktorok felkutatása programmal
Az attraktorok (azaz a ciklusok) megtalálásához program is írható. A legegyszerűbb megközelítés az, hogy az előállított számokat egy erre a célra kijelölt tömbben tároljuk. A legutoljára előállított számot összehasonlítjuk a korábban a tömbben tárolt összes számmal. Ha találunk egyezést, akkor a ciklushoz tartozó összes számot kinyomtatjuk. A futás azonban hosszú időt vehet igénybe, ha a tömb nagy.
Van egy ügyes kis program, amely sokkal gyorsabban megtalálja az attraktort. Ez a programozási technika a „fast” (gyors) és „slow” (lassú) változók elvén alapul, és a legegyszerűbb programozható zsebszámológépen is programozható. Képzeljük el úgy, mint egy kötelet, amelynek az egyik végén hurok van, és emlékeztet a görög „rho” (ρ) betűhöz is hasonlatos. Indításkor mindkét változónak a kezdő szám értékét adjuk meg. A program minden lépésben kétszer számítja ki a fast változó következő számjegyét, a slow változóra viszont csak egyszer végezzük el. Így a fast változó a ciklus elejétől a fejéig kétszer olyan gyorsan teszi meg az utat, mint a slow. Így elkerülhetetlen, hogy a fast utoléri a slow-t, mely idő alatt a slow az út felét tette meg. Ez a módszer lényegesen hatékonyabb a hosszú ciklusok felfedezésére.
Az iterációk, a ciklusok és az attraktorok vizsgálata egy dinamikusan fejlődő, biomatematikai, fizikai és szociológiai alkalmazásokkal bővülő területe. A fraktálok a „tört” latin megfelelőjéből, a fractus számából származik. A tudományban és a természetben is megtalálható folyóirat.
A fraktálok leírása olyan régi, mint maga a tudomány. A természeti formák sokszínűsége, a spirálok, a csigák, a mechanikai elrendezések és a matematikai iterációk mind-mind a rendezettség és a komplexitás hihetetlen gazdagságát mutatják be, melyekkel nap mint nap találkozunk. A végső üzenet az, hogy a világ tele van rejtett rendszerekkel és mélyebb összefüggésekkel, amelyek felfedezése mindig újabb és újabb kérdéseket vet fel, de egyben gazdagítja is a rólunk és a körülöttünk lévő világról alkotott képünket.
tags: #hajtogatott #fraktal #csiga