Két Pontszerű Elektromosan Töltött Test Távolsága és Kölcsönhatása

Bevezetés az Elektrosztatikába

Az elektrosztatika a fizika azon ága, amely a nyugalomban lévő töltött részecskék közötti kölcsönhatást, a töltés(ek) terét és a töltésrendszer energiáját vizsgálja. Már a középkorban, sőt az ókorban is ismertek voltak dörzselektromos jelenségek. Egy klasszikus kísérletben, ha üvegrudat bőrrel dörzsölünk, azt tapasztalhatjuk, hogy egy cérnaszálra függesztett alufólia darabkát a rúd először vonz, majd érintkezés után taszít. Ez a jelenség más anyagokkal is megfigyelhető: dörzsölhetünk gyapjúval ebonitrudat vagy egy műanyag vonalzót textillel, és alufólia helyett használhatunk kis papírdarabkákat. Testek elektromos jellegének vizsgálatához elektroszkópot használnak.

A dörzsöléssel elektromos állapotba hozott két ebonitrúd taszítja egymást, ahogy két bőrrel dörzsölt üvegrúd is. Azonban az ebonitrúd és az üvegrúd vonzzák egymást. Ezek a kísérletek rávilágítottak arra, hogy az elektromos állapotba hozott testek között taszító vagy vonzó jellegű kölcsönhatás lép fel.

A jelenség magyarázata abban rejlik, hogy a dörzsölés hatására elektromos töltések jutnak át az egyik szigetelőről a másikra az érintkezési pontokban. A kísérletek alapján kétféle elektromos töltést azonosítottak: pozitív és negatív töltést. Megállapodás alapján a bőrrel dörzsölt üvegrúd töltését pozitívnak mondjuk. Egyértelműen kiderült, hogy az egynemű töltések taszítják egymást, míg a különböző nemű töltések között vonzó jellegű kölcsönhatás lép fel. Az elektromosan fel nem töltött testet semlegesnek nevezzük, mivel benne, illetve rajta a pozitív és negatív töltések száma megegyezik.

Az Elektromos Töltések Alapjai

Ma már tudjuk, hogy az atomok és molekulák semleges neutronokat, pozitív töltésű protonokat és negatív töltéssel rendelkező elektronokat tartalmaznak. Az elektron és a proton töltésének nagysága megegyezik. Ebből az is következik, hogy minden töltött test töltésének nagysága az elektron vagy a proton töltésének egész számú többszöröse. Az elektron töltésének meghatározására először 1910-ben Millikan épített kísérleti elrendezést. Az elektron töltése $e = 1.602 \times 10^{-19}$ Coulomb. Az elektromos töltés mértékegysége a Coulomb (C).

Coulomb Törvénye és az Elektrosztatikus Erő

Az elektrosztatikus erő vizsgálatára először C. A. Coulomb épített kísérleti elrendezést. Coulomb törvénye írja le két pontszerű, elektromosan töltött test közötti erőhatást:

$F = k \frac{|q1 q2|}{r^2}$

ahol $q1$ és $q2$ a két töltött részecske töltése, $r$ a közöttük lévő távolság, és $k$ az arányossági tényező, melynek értéke $k = 8.9875 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2$. A távolságot méterben (m) kell mérni.

Az erő a töltésre hat, és a töltéstől a töltés felé mutató egységvektor mentén irányul. A kölcsönhatási törvény érvényesülése - egy egyszerű matematikai módszerrel - indexcserével megvalósul, tehát a töltésre ható erő is egyszerűen meghatározható. Ha egy ponttöltés néhány másik ponttöltés környezetében található, akkor a töltésre ható eredő erő az egyes elektrosztatikus kölcsönhatásokból származtatható erők vektoriális összege, azaz alkalmazható a szuperpozíció elve.

Az Elektromos Tér Fogalma

Az előzőekben láttuk tehát, hogy két - egymástól akár nagyobb távolságban lévő - töltés között is erőhatás lép fel. Felmerül a kérdés, hogy ez hogyan lehetséges. A mai szemléletünk alapján a végtelen gyorsan, közvetítő közeg nélkül terjedő távolhatás eszméje a fizikában nem elfogadható. Felfogásunk szerint minden elektromosan töltött testnek vagy részecskének van elektromos tere (ezt elektromos mezőnek is nevezik). Az elektromos tér közvetíti az elektrosztatikus erőhatást két töltött részecske között. Ennek a jelentése a következő: ha egy töltés egy másik töltés erőterében van, akkor arra a másik töltés elektromos tere erőhatást gyakorol és fordítva.

Felvetődik a kérdés, hogy egy töltött részecskére hogyan hat a saját erőtere. Ezt a problémát itt nem tárgyaljuk részletesen; egyszerűen fogadjuk el, hogy egy töltött részecske - például az elektron - a saját elektromos erőterét "nem érzi". Tehát egy töltött részecskére egy másik töltés elektromos terében erő hat. Ezt a hatást írja le a Coulomb törvény nyugvó részecskék esetében. Ennek segítségével egyszerűen meghatározhatjuk egy ponttöltés elektromos terét.

Az elektromos térerősség ($E$) egy adott pontban úgy definiálható, mint az egységnyi pozitív próbatöltésre ható erő:

$E = \frac{F}{q}$

ahol $F$ az erő, ami a $Q$ töltés terében a $q$ töltésre hat. Egy pozitív és egy negatív töltés elektromos terét az erővonalak szemléltetik.

Minthogy az egy töltésre ható elektrosztatikus erő egy töltésrendszer terében az egyes töltésekkel fennálló kölcsönhatás következtében fellépő erők vektoriális összege, ezért mondhatjuk, hogy az eredő elektromos térerősség meghatározásához is használhatjuk a szuperpozíció elvét, azaz:

$E{eredő} = E1 + E2 + \dots + En$ (vektoriális összeg)

Elektromos Dipólus és a Térbeli Kölcsönhatások

Az előbbiek szemléltetésére jó példa az elektromos dipólus, amely egymástól bizonyos távolságban lévő $+q$ és $-q$ töltésekből áll. Egy adott P pontban az eredő elektromos térerősség a $+q$ töltés és a $-q$ töltés térerősségének vektori összege. Az is fontos kérdés, hogy mi történik, ha egy dipólt elektromos térbe helyezünk.

Az elektromos dipólmomentum ($\mathbf{p}$) egy vektor, amelynek nagysága $p = q \cdot d$, ahol $d$ a két töltés távolsága, és a vektor iránya a negatív töltéstől a pozitív felé mutat. Elektromos térbe helyezve egy dipólra forgatónyomaték ($\mathbf{\tau} = \mathbf{p} \times \mathbf{E}$) hat, amely igyekszik beállítani a dipólt a tér irányába. Inhomogén erőtérben nem csak forgatónyomaték, hanem erő is hat. A precíz bizonyítás helyett ezt könnyen beláthatjuk egy leegyszerűsített modell segítségével.

Legyen az elektromos erőtér párhuzamos az $x$ tengellyel annak a pontnak a közelében, ahol a kisméretű dipól található. A tér inhomogén, azaz $\frac{dE}{dx} \ne 0$. A dipól két töltése (vagy két töltéssúlypontja) közötti távolság $d$. Egy ponttöltésre ható elektrosztatikus erő - mint azt már láttuk - az $F = qE$ alakban adható meg.Most már érthető, hogy töltött részecskéket miért lehet elektromos tér alkalmazásával gyorsítani. Jó példa erre - az igen nagyszámú egyéb alkalmazás mellett - a lineáris részecskegyorsító, amelynek segítségével csaknem fénysebességre lehet elektronokat, protonokat, ionokat stb. gyorsítani. Az elektromos teret nem csak a töltött részecskék, illetve részecskenyalábok (pl. egy elektronnyaláb) gyorsítására, hanem irányának megváltoztatásához, eltérítéséhez is lehet használni. Ezen az effektuson alapul a CRT monitor (pl. régi számítógép monitorok és televíziók).

Amennyiben nem csak ponttöltéseket vizsgálunk, hanem felületi vagy térfogati töltéseloszlásokat, az adott töltéssűrűségek esetén is kiszámítható a tér egy pontjában az eredő elektromos tér a szuperpozíció elvét felhasználva:

$E = \int \frac{1}{4\pi\epsilon0} \frac{dq}{r^2} \mathbf{e}r$

ahol $dq$ az infinitezimális töltéselem, $r$ a távolság a töltéselemtől a vizsgált pontig, és $\mathbf{e}_r$ az irányvektor. A töltésrendszert magába foglaló térfogatra kell integrálni. Ugyanez a módszer alkalmazható felületi és lineáris töltéssűrűségre, azonban ott értelemszerűen az adott felületre, illetve vonalra kell integrálni.

Elektromos Erővonalak és Fluxus

Az elektromos erőtér egy vektormező, amelynek grafikus ábrázolása - a valóságban nem létező - de igen szemléletes erőtérvonalakkal is ábrázolható, például magányos ponttöltések esetében. Az erővonalak általában nem egyenesek. Jó példa erre a két, egymás közelében elhelyezkedő pozitív és negatív töltés együttes terét szemléltető erővonal-kép. Az erővonal egy pontjában az elektromos térerősség vektora érintőirányú. Az elektromos térerősség-vonalak kísérleti szemléltetése is lehetséges. Az erővonalkép alkalmas arra is, hogy az erőteret jellemezzük. Látható, hogy a nagyobb elektromos térerősség nagyobb erővonal-sűrűséget jelent. Tegyük fel, hogy egy ponttöltésből N db erővonal indul ki. A térerősség nagysága arányos az erővonal-sűrűséggel.

Valamely vektortér - pl. elektromos térerősség - fluxusát egy felületre a következőképpen definiálhatjuk:

$\PhiE = \intS \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}$

ahol $d\mathbf{A}$ az infinitezimális felületelem vektor és a térerősség vektor skaláris szorzata, és ezt kell az adott felületre integrálni. Szemléletesen megmutatható az is, hogy nem csak koncentrikus gömbfelületek esetében kapjuk ugyanazt az értéket a fluxusra egy ponttöltés esetén. A gömbsüveg darabkák felülete $dA'$, és a rá mindenhol merőleges a térerősség nagysága $E'$ arányos; ebből következik, hogy a fluxus értéke az adott térszögre állandó. Ebben az esetben azonban az elemi felületelemre számítható fluxust meghatározó kifejezésben a $dA \cos\theta$ éppen a felületelem térerősségre merőleges vetületét adja. Ha a tér - melyben több töltés is található - egy pontjában az eredő térerősséget szeretnénk meghatározni, akkor a szuperpozíció elvét alkalmazhatjuk, azaz az adott pontban az egyes töltések elektromos terét kell vektoriálisan összeadni.

Gauss-törvény és Alkalmazásai

A Gauss-törvény egy alapvető törvény az elektrosztatikában, amely az elektromos tér fluxusát és a zárt felületen belüli töltést kapcsolja össze:

$\ointS \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q{belső}}{\epsilon_0}$

ahol $Q{belső}$ a zárt felületen belüli össztöltést jelenti, és $\epsilon0$ a vákuum permittivitása. A Gauss-törvény használatával szimmetrikus töltéselrendezés esetében általában jóval könnyebb az elektromos erőtér nagyságát meghatározni, mint a szuperpozíció elvének felhasználásával.

Példaként határozzuk meg egy végtelen nagy, pozitív, állandó felületi töltéssűrűségű ($\sigma$) lemez környezetében az elektromos térerősség nagyságát. Az elrendezés szimmetriájából adódik (transzlációs szimmetria), hogy az elektromos erőtér csak a lemezre merőleges lehet, és nagysága mindenhol ugyanakkora, azaz homogén erőtér van a lemez két oldalán. (A térerősség vektorok a lemez két oldalán ellentétes irányúak.)Képzeljünk el egy hengeres Gauss-felületet, amely átszeli a lemezt, és a két véglapja párhuzamos a lemezzel. A fluxus megadásához elegendő figyelembe venni a doboz két véglapját, hiszen az oldalfalon nem megy át elektromos erőtérvonal.A Gauss-törvény alapján: $2 E A = \frac{\sigma A}{\epsilon0}$, amiből $E = \frac{\sigma}{2\epsilon0}$.

Anyagok Elektromos Tulajdonságai: Vezetők, Szigetelők, Félvezetők

Az anyagokat csoportosíthatjuk aszerint is, hogy mennyire jól vezetik az elektromosságot, azaz bennük, ill. rajtuk mennyire könnyen mozdulhatnak el a töltések. Ezen tulajdonságuk alapján beszélhetünk vezetőkről, szigetelőkről és félvezetőkről.

A szilárd testek általában rácsszerkezettel rendelkeznek. A bennük lévő ionok (azaz az atommagok és a vezetésben nem résztvevő elektronok) töltése pozitív, és a rácsban az egymástól mért távolságuk állandó. A körülöttük lévő elektronok semlegesítik az atommagok, illetve az ionok terét.

A fémes vezetőkben az elektronok egy része könnyen - úgy is mondhatjuk, hogy szabadon - el tud mozdulni. Ezeket a szabad elektronokat nevezzük vezetési elektronoknak, amelyek - mint ahogy a nevük is utal rá - felelősek a fémek jó vezetőképességéért. A különböző fémes vezetők vezetőképessége általában eltérő.

A szigetelőkben az elektronok helye a rácsban kötött, ezért töltésvezető tulajdonságuk gyenge. Ez természetesen nem azt jelenti, hogy a szigetelők egyáltalán nem vezetik az áramot, azonban a fémes vezetőkhöz képest töltésvezető képességük akár húsz nagyságrenddel is kisebb lehet.

Vezetőképességüket tekintve a félvezető anyagok a fémes vezetők és a szigetelők között helyezkednek el. A félvezető kristályok - például a szilícium vagy a germánium - általában a fémekhez viszonyítva rosszul vezetik az elektromosságot, azonban a szigetelőkhöz képest jó vezetők. Fontos megjegyezni azonban, hogy a félvezető anyagot más atomokkal "szennyezve" annak vezetőképessége nagyságrendekkel megváltoztatható.

Elektromos Árnyékolás és Töltésmegosztás

Ha egy jó vezetőből készült anyagdarabot olyan térrészbe helyezünk, ahol az időben állandó elektromos térerősség nem zérus, akkor a vezető elektronjainak egy része igen gyorsan kialakít egy olyan elrendeződést - felületi töltéssűrűséget - amely leárnyékolja a külső teret, azaz a vezetőn belül az elektromos térerősség zérus. Ezt a jelenséget Farady-kalitkának is nevezik.

Egy zárt fémháló belsejében lévő elektroszkópot vezetővel a hálóhoz kötünk. A hálót elektromosan feltöltjük. A fémburkolattal bezárt üregbe nem hatol be a külső elektromos tér, mint ahogy egy elsötétített szobába sem jut be a napfény. A fény útját elzáró árnyékolás mindkét irányban akadályozza a fény terjedését. Az elektromos árnyékolás is kétirányú: nemcsak a külső tér hatását zárja ki a belső térből, hanem a belső tér töltései sem hoznak létre külső teret.

A vezető felületén az eredetileg semleges test - amely semmilyen elektromos tulajdonságot nem mutatott - a külső elektromos erőtér hatására ellentétes előjelű töltéseket halmoz fel a felület különböző részein. (Az össztöltés természetesen a továbbiakban is nulla.) Ezt a jelenséget nevezzük töltésmegosztásnak. Egy töltetlen elektroszkóp fémgömbjéhez negatívra töltött műanyag rudat közelítünk. Az elektroszkóp lemezkéi töltést jeleznek, ami az elektromos megosztás következménye.

Az is könnyen belátható, hogy a vezető felület közelében a térerősség a felületre merőleges, hiszen ha a felülettel párhuzamos komponense is lenne, akkor a felület közelében lévő elektronokra elektrosztatikus erő hatna, és az elektronok ennek hatására elmozdulnának. A fém felülete ekvipotenciális felület. Egy tömör fémgömb felszínén egyenletesen helyezkednek el pozitív töltések.

Jól példázza az előbb említett két feltétel - azaz, hogy a vezetőben a térerősség nulla, és a térerősség-vektor merőleges a felületre - teljesülését a következő példa. Legyen $+Q$ töltés $d$ távolságban egy (nagyon nagy) vezető síktól. Kérdés, hogy hogyan lehet meghatározni az elektromos tér szerkezetét a töltést tartalmazó, a sík által határolt féltérben. Erre a választ egy igen egyszerű módszer segítségével kaphatjuk meg. Tételezzük fel, hogy egy ún. tükörtöltés jelenik meg a sík másik oldalán - attól éppen $d$ távolságban - az eredeti töltés síkra tükrözött helyzetében, de $-Q$ töltéssel. A gondolatban odaképzelt virtuális töltéssel együtt az eredeti töltés együtt egy elektromos dipólt képez, és ennek térerőssége - a $q$ töltést tartalmazó féltérben - éppen megfelel az említett feltételeknek. Természetesen a töltés nem a tükörhelyzetben jelenik meg, hanem el van osztva a fémvezető felületén. A vezető lap felszínén a felületi töltéssűrűség kiszámítható.

Elektromos Potenciál és Feszültség

Ha a töltést egy kísérletező személy mozgatta, akkor az általa a töltésen végzett munka - mint az könnyen belátható - a tér munkájának a -1-szerese. A kísérletező munkája viszont a töltött részecske potenciális energiáját növelte. Látható tehát, hogy a potenciális energia változása arányos a mozgatott részecske töltésével:

$\Delta U = q \Delta V$

ahol $U$ a potenciális energia, $q$ a töltés, és $V$ az elektromos potenciál. Érdemes még emlékezni a $W = F \cdot s$ összefüggésre is, ahol természetesen az $sa$ és $sb$ pontok közötti elmozdulás-vektor.

Az eredmény nem függ attól, hogy milyen úton jutottunk el az $A$ pontból a $B$-be, hiszen a térre merőleges elmozdulások nem okoznak potenciálváltozást. Az elektromos teret jellemző mennyiséget elektromos feszültségnek is nevezik, mértékegysége: Volt (V), jele: $U$. Szemléletes jelentése a következő: amennyiben $Q$ töltést az elektromos tér két olyan pontja között mozgatunk, amelyek között a feszültség $U$, akkor a részecske potenciális energiáját $Q \cdot U$-lal növeltük; vagy fordítva: ha a $Q$ töltésű részecske egy olyan tartományon halad át, ahol a potenciálesés $U$, akkor a tér által a részecskén végzett munka $Q \cdot U$.

Alkalmazásként tekintsük néhány egyszerű töltéselrendezés terének elektromos potenciálját! Egy ponttöltés elektromos potenciálja:

$V(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$

ahol $r$ a két pont helyzetét megadó helyvektor abszolút értéke. Itt most magától értetődően adódott, hogy a távoli pont potenciálja zérus: $V(\infty) = 0$. Ponttöltések rendszerének elektromos potenciálja is meghatározható az előzőek segítségével. A szuperpozíció elvéből következik, hogy $V{eredő} = V1 + V2 + \dots + Vn$.

Elektromos Jelenségek a Mindennapokban és Alkalmazásaik

Néhány benzinkútnál árusítanak propán-bután gázt tartalmazó gázpalackot. Tárolásukat fémből készült, rácsos szerkezetű tárolókkal oldják meg. Ebben a fejezetben kiderül, hogy miért használnak villámhárítót, és az hogyan tudja megvédeni az épületeket a bennük található elektronikus berendezésekkel együtt. Megtudjuk, hogy miért burkolják a számítógépes termek járófelületét elektrosztatikus padlóval. A CRT monitor és a számítógépes billentyűzet működési elve is könnyen megérthető az elektrosztatika törvényeinek alkalmazásával. Választ kaphatunk arra a kérdésre is, hogy a számítógép háza miért készül fémből.

A kondenzátor működése is az elektrosztatikán alapszik. Két párhuzamos lemezre felvitt +Q és -Q töltés esetén a köztük fellépő erő nagyobb, mintha mindkettőre azonos, például +Q töltést vinnénk. A polarizáció olyan folyamat, amelynek során az elektromosan semleges testen (pl. egy gyenge vízsugár folyik a csapból. Azt tapasztaljuk, hogy ha egy negatívan töltött ebonitrudat közelítünk a vízsugár felé, az vonzza a vízsugarat. A pozitívan töltött rúd taszítja a vízsugarat).

Egy pozitív töltésű fémtestet egy fémhuzallal leföldelünk. A földelés hatására a fémtest semlegessé válik, mivel a felesleges töltések a földbe áramlanak.Két, szigetelő állványra helyezett, töltetlen fémgömböt helyezünk el az asztalon. A gömbök közé egy töltött szigetelőlemezt állítunk, ezért a gömbökön a töltés átrendeződik. Az egyik gömbön pozitív, a másikon negatív töltés halmozódik fel, bár az össztöltésük továbbra is semleges.Egy semleges fémtest közelébe töltött részecskét helyezünk. Az elektrosztatikus indukció hatására a semleges test felületén töltésmegosztás történik, vonzóerő alakul ki a töltött részecske és a fémtest között.

Elektrosztatikus Jelenségek és a Mechanika Összefüggései

Bár a téma az elektromos jelenségekre koncentrál, érdemes megemlíteni néhány mechanikai analógiát és összefüggést. Egyenes vonalban mozgó test pillanatnyi sebessége v. Egy pontszerű test a koordináta-rendszer x tengelye mentén mozog. A földi nehézségi erőtérben egy pontszerű testet függőlegesen felfelé dobunk el. Egy m tömegű kosárlabdát leejtve a tornaterem padlójára, az visszapattan. Ezek a mechanikai mozgások alapvető fizikai törvényeket követnek, mint például Newton törvényei.Létezik olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben Newton I. törvénye érvényes, ez az inerciarendszer.Vízszintes asztalon fizikakönyv nyugszik. Egy érdes lejtőre helyezett, magára hagyott, m tömegű láda tartósan nyugalomban van. Egy m tömegű könyvet α hajlásszögű lejtőre helyezünk, a könyv nem csúszik meg. Ezek mind az egyensúlyi állapotok és a súrlódási erők példái.A Hold felszínén a nehézségi gyorsulás közelítőleg 1/6-a a földi értéknek, ami befolyásolja a mozgó testek viselkedését.Disszipatív erők (pl. súrlódás, légellenállás) hatására az energia egy része hővé alakul.Egy rugó x távolsággal való megnyújtásához W munkavégzés szükséges. Igaz vagy hamis, hogy a megnyúlás x-ről 2x-re való növeléséhez további 3W munkát kell befektetnünk? Ez a kérdés a rugóban tárolt potenciális energiára vonatkozik, ami Hooke törvénye szerint $E_p = \frac{1}{2} k x^2$. Ha x-ről 2x-re növeljük, a potenciális energia 4-szeresére nő, így a további munkavégzés 3W lesz.Egy asztalon egy gyufaskatulyát tolunk az asztal egyik sarkától a másikig vízszintes erővel. Ez a munka fogalmát illusztrálja.Egy égitestbe (pl. egy holdba) meteorit csapódik. A súlytalanság állapotában két gyurmagolyó ütközik, melyek összetapadnak. Szilveszterkor egy függőlegesen fellőtt játékrakéta a pályája tetőpontján három azonos tömegű darabra robbant szét. Két repesz sebessége 10 m/s és 15 m/s volt. A Holdon ferdén fellőtt jelzőrakéta két darabra robban szét. Ezek mind az impulzusmegmaradás törvényét mutatják be.Egy műkorcsolyázó forgás (piruett) közben széttárja karjait. Egy sportoló toronyugrás közben behajlítja térdét és térdein összefonja a karját („összezsugorodik”). Ezek a jelenségek a perdületmegmaradás elvét illusztrálják.

Az elektromos jelenségek és a mechanikai mozgások látszólag különállóak, de a fizika mélyebb összefüggései révén számos ponton találkoznak és kölcsönhatásba lépnek. Az elektrosztatika alapjainak megértése elengedhetetlen a modern technológia számos területén, a számítógépek működésétől kezdve az energiaellátásig.

tags: #ket #pontszeru #elektromosan #toltott #test #tavolsagat