A geometria alapvető alakzatai közé tartozik a kör, amellyel már gyermekkorunkban is találkozhattunk. Egy rendkívül szabályos formáról van szó, amelynek számos érdekes tulajdonsága van. Fontos megkülönböztetni a körvonalat és a körlapot. A körvonal azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy adott ponttól, a kör középpontjától adott távolságra vannak. Ezzel szemben a körlap azon pontok halmaza a síkban, amelyek egy adott ponttól, a kör középpontjától legfeljebb adott távolságra vannak.
A kör alapvető definíciói és elemei
A kör definíciója szerint adott a síkon egy pont és egy szakasz. A kör azon pontok halmaza a síkon, amelyek az adott ponttól az adott távolságra vannak. Az adott pontot a kör középpontjának hívjuk, a szakaszt pedig a kör sugarának nevezzük. Ez a sugár az adott távolság. A K(u,v) középpontú, r sugarú kör egyenlete a koordináta síkon (x-u)2+(y-v)2=r2. A kör egyenlete kétismeretlenes másodfokú egyenlet, ami átírva x2+y2-2ux-2vy+u2+v2-r2=0 alakú.
A körön belül számos más fontos fogalommal találkozunk:
- Körgyűrű: Két azonos középpontú, különböző sugarú körvonal által határolt alakzat.
- Körív: A körvonal bármely két pontja által határolt része a körvonalnak. A kör húrja a körvonalat két részre bontja, ezeknek a neve a körív.
- Körcikk: A kör középpontjából kiinduló két sugár a körlemezt két részre bontja. A keletkező részek neve a körcikk.
- Körszelet: Az AB húr a körcikket egy háromszögre (ABK háromszög) és az adott körszeletre bontja.
- Húr: A körvonal bármely két pontját összekötő szakasz.
- Átmérő: Az átmérő egy olyan húr, amely áthalad a kör középpontján. Ez a kör leghosszabb húrja, és hossza a sugár kétszerese (d = 2r).
A kör kerülete és területe
Amikor a kör kerülete a kérdés, akkor arra vagyunk kíváncsiak, milyen hosszú a körvonal. A kör kerülete a sugár kétszeresének és a π-nek a szorzata (C = 2πr), vagy az átmérő és a π szorzata (C = dπ). A képletekben szereplő π a görög pí betű, amely a matematikában egy híres állandót jelöl, értéke π = 3,1415926535…, végtelen nem szakaszos tizedestört. A π (pí) egy irracionális, sőt transzcendens szám, tehát egy nem szakaszos tizedes tört.
A kör területének képlete A = πr2. Előfordulhat az is, hogy a kör területe ismert, de a sugara nem, ilyenkor az r = sqrt(A / π) képlettel számítható ki a sugár.
Példa: Átmérő, kerület és terület számítása 10 cm sugarú kör esetén
Ha a sugár 10 cm, akkor az átmérő 20 cm (d = 2 * 10 cm). A kerület körülbelül 62.832 cm (C = 2 * π * 10 cm), a terület pedig körülbelül 314.159 cm2 (A = π * (10 cm)2).
Körcikk és körív
Azokat a szögeket, amelyeknek csúcsa a kör középpontjában van, szárai a kör sugaraira illeszkednek, középponti szögeknek nevezzük. A középponti szöghöz tartozó két sugár a köríven kijelöl egy körívet, a körlemezen pedig egy körcikket. Észrevehetjük, hogy a körcikk kerülete 2 egyforma szakaszból (sugarakból) és egy körívből áll össze.
A középponti szög nagyságától függően változik a körív hossza és a körcikk területe. Ha a középponti szög helyett a teljes szöget (360 fokot vagy 2π radiánt) írjuk, ekkor a hozzátartozó körív a körvonal hossza lesz, a hozzátartozó körcikk területe pedig a körlemez területe lesz.
A kör kalkulátor
A kör kalkulátor egy rendkívül hasznos eszköz, amely képes kiszámítani a kör területét, kerületét, átmérőjét és sugarát egy ismert értékből. Csupán egy bemeneti értéket kell megadnunk, és a számológép kiszámítja a kör többi értékét. Például, ha a kerület ismert, az átmérő a d = C / π képletből számítható ki.
A kör és egyenes kölcsönös helyzete
Most áttérnénk a kör és egyenes kölcsönös helyzetének a tárgyalására. A síkban egy körnek és egy egyenesnek kettő, egy vagy nulla közös pontja lehet. Ez a kölcsönös helyzet egy két egyenletből álló kétismeretlenes egyenletrendszer megoldásával határozható meg, amely megmutatja, hány metszéspont van.
A kör és az egyenes kölcsönös helyzete
A parabola és más alakzatok
Feleletemben a kört és a parabolát mutatom be elemi úton és a koordináta síkon. Kitérek a kör és egyenes, valamint a parabola és egyenes kölcsönös helyzetére is.
A parabola definíciója és elemei
A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott egyenesétől és egy adott, az egyenesre nem illeszkedő pontjától ugyanolyan távolságra vannak. Az adott egyenest a parabola vezéregyenesnek, az adott pontot a parabola fókuszpontjának hívjuk. A vezéregyenes és a fókuszpont távolságát paraméternek hívjuk, és p-vel jelöljük.
Minden parabolának van tengelye, ez egy fókuszpontra illeszkedő egyenes, ami merőleges a vezéregyenesre. A parabola tengelyen lévő pontját tengelypontnak nevezzük. Ez éppen a fókuszpontot és a vezéregyenest összekötő szakasz felezőpontja. A parabola alkalmazása például a parabolaantenna.
A parabola és egyenes kölcsönös helyzete
Egy parabolának és egy egyenesnek is 2, 1 vagy 0 közös pontja lehet. Ebben az esetben is egy két egyenletből álló két ismeretlenes egyenletrendszert kell megoldani, hogy megkapjuk, hány metszéspont van. Fontos kiemelni, hogy ha 1 metszéspont van, akkor nem feltétlenül érintője az egyenes a parabolának, mert ha az egyenes párhuzamos a parabola tengelyével, akkor ő egy átmetsző egyenes.
Ha tudjuk, hogy az egyenes az A(x0;y0) pontban érinti a parabolát, akkor meg tudjuk adni az érintő egyenes egyenletét deriválással. A deriváltfüggvényben az x=x0 helyen felvett helyettesítési érték adja meg az érintő meredekségét. A grafikus megoldásnál azt használjuk fel, hogy a másodfokú kifejezések képe parabola. Akárcsak a másodfokú egyenletnél, az egyenlőtlenségnél is nullára rendezünk, majd a bal oldalon álló kifejezés által meghatározott függvényt ábrázoljuk.
Háromszögek nevezetes körei
A háromszögek esetében két nevezetes körrel találkozunk: a háromszög köré írt körével és a háromszög beírt körével.
- Háromszög köré írt köre: Az a kör, amely átmegy a háromszög mindhárom csúcsán.
- Háromszög beírt köre: Az a kör, amely érinti a háromszög mindhárom oldalát. Ennek a középpontját pedig a háromszög belső szögfelezőinek metszéspontjaként kapjuk.
Minden háromszögnek van beírt és köré írt köre. Ez négyszögekről és egyéb sokszögekről már nem mondható el. Azokat a sokszögeket, amelyeknek van beírt körük, érintősokszögeknek nevezzük (hiszen oldalai érintik a kört).
tags: #kor #hurjabol #atmerotszamolni