Ez a kiadvány elsősorban gépészmérnök hallgatóknak kíván segítséget nyújtani a rezgéstan alapvető összefüggéseinek és módszereinek ismertetésével. A Gépészmérnöki Karán alapképzésben oktatott Rezgéstan, illetve az öt éves egyetemi képzésben oktatott Lengéstan tantárgyak tematikája, és a 2012-ben megjelent „A műszaki rezgéstan alapjai” című jegyzet alapján állítottuk össze. Jelentős mértékben kiegészítettük és átírtuk a korábban megfogalmazott szövegrészeket, mert abban - terjedelmi korlátok miatt - nem volt lehetőségünk minden részletkérdés tisztázására. Fontos különbség az is, hogy ebben a kötetben az angolszász szakirodalomban leginkább elfogadott jelöléseket alkalmazzuk. A jegyzet írása során a gépészmérnöki gyakorlat számára legfontosabb témakörökre helyeztük a hangsúlyt.
Az anyagi pont mozgásának alapjai
Az anyagi pont helyzete és sebessége
A háromdimenziós térben mozgó anyagi pont mindenkori helyzetét három skalárfüggvénnyel adhatjuk meg, melyeket a pont koordinátáinak nevezünk. Derékszögű Descartes-féle koordinátarendszerben (DDKR) ezek az x, y és z függvények. A sebesség vektor nagysága az ún. pályasebesség, és a pálya érintőegységvektora. A gyorsulásvektor kifejezhető a pályagyorsulás, a pályagörbe görbületi sugara az adott pontban és a főnormális irányú egységvektor segítségével.
Dinamikai alapfogalmak
Dinamikai alapfogalmak közé tartozik a merev test, vonatkoztatási rendszer, koordináta rendszer és a szabadsági fok. Egy anyagi pont mozgástörvényének meghatározása a dinamikai alapegyenlet segítségével történik, amely egy másodrendű vektori differenciálegyenlet integrálását jelenti. Ennek az egyenletnek három vetületi komponense adja meg az anyagi pont mozgásegyenleteit. Az erő ún. elemi munkája az erő út szerinti integrálja (Poncelet, 1829), amely általában a kezdő és végpontokon túl függ az ezeket összekötő görbétől is.
Konzervatív erőterek és energiamegmaradás
Speciális esetben, egy konzervatív erőtérben az elemi munka teljes differenciál. Az V(x,y,z) = állandó egyenlettel meghatározott felületet ekvipotenciális felületnek (nívófelületnek) nevezzük. Az energiamegmaradás tétele csak konzervatív, azaz potenciálos szabaderők esetén igaz, feltéve, hogy a konzervatív erőkön kívüli kényszererők teljes munkája zérus.
Centrális erők
Azt az anyagi pontra ható erőt, melynek hatásvonala mindig a vonatkoztatási rendszer egy rögzített pontján (legyen ez az origó) megy keresztül, centrális erőnek nevezzük. Ekkor a rádiuszvektor által az időegység alatt súrolt terület kétszerese konstans. Az egyenletben a három integrálási állandó által alkotott vektor a pálya síkjának normálisának irányát, valamint a felületi sebesség nagyságát rögzíti.
Kényszermozgások és merev testek dinamikája
Kényszermozgások
Ha az anyagi pont mozgását előírt geometriai feltételek korlátozzák, kényszermozgásról beszélünk. Az ideális kényszererő munkája nyugvó felület vagy görbe esetén zérus, hiszen az elmozdulás a felület vagy görbe mentén, érintőlegesen történik, azaz a kényszererőre merőlegesen. A munka kiszámításánál elegendő a szabaderőket figyelembe venni, és így érvényes az energiamegmaradás tétele. Elképzelhető alakra nem hozható, nem integrálható, ún. anholonom (pl. egyenlőtlenségekkel megadott) kényszerfeltételek is léteznek. A súrlódási erőnek ez a formája hibrid jelleget mutat.
Anyagi pont egyensúlya
Anyagi pont egyensúlya alatt annak tartós nyugalmi állapotát (vagy egyenesvonalú egyenletes mozgását) értjük, azaz amikor a gyorsulása zérus. Ennek egy lehetséges kis, idő nélküli, képzelt elmozdulását virtuális elmozdulásnak nevezzük, mely végtelen rövid idő alatt megy végbe. Mozgás előírt görbénél, a sebesség nagyságát megváltoztató gyorsulás, a harmadik egyenlet a szabaderők és kényszererők binormális irányú összetevőinek egyensúlyát fejezi ki, míg a sebességű anyagi pont görbületi sugarú pályán való mozgásához szükséges gyorsulás (centripetális gyorsulás), az ezt biztosító erők eredője pedig a centripetális erő.
Merev test kinematikája
A merev test tetszőleges két pontjának sebessége közötti összefüggést leíró egyenlet azt jelenti, hogy a merev test tetszőleges pontjának sebességének megadásához elég ismernünk egy referenciapont sebességét és a merev test szögsebességét. A merev test szöggyorsulása is kulcsfontosságú a mozgás leírásában.
Relatív mozgások
A relatív sebesség a ponton áthaladó anyagi pont relatív sebessége a mozgó vonatkoztatási rendszerben (MVR), míg a szállító sebesség a MVR-hez rögzített pontnak a sebessége, az álló rendszerből észlelt ún. szállító sebesség. A derivált tehát a MVR-beli idő szerinti deriváltat jelöli, azaz csak a koordináták deriváltját, a MVR-ben állónak képzelt koordinátatengelyekét nem. Az ún. Coriolis-gyorsulás (Coriolis, 1792-1843) és az ún. relatív vagy látszólagos gyorsulás a MVR-ben, valamint a MVR-hez rögzített pontnak az álló rendszerből észlelt gyorsulása alkotják a teljes gyorsulást. Az aktív erő melletti két tag az ún. tehetetlenségi erők.
Lagrange-egyenletek és általános koordináták
Több szabadsági fokú rendszerek
A pontrendszer mozgása N darab, egymástól független paraméterrel, pontosabban skalárfüggvénnyel, az ún. általános koordinátákkal adható meg. Ezen általános koordináták egy n dimenziós teret határoznak meg. Ez az ún. fázistér, melyben a rendszer mozgásának egy adott pályán, ún. trajektórián mozgó pont feleltethető meg. A virtuális elmozdulások helyett most használjuk a már korábban bevezetett virtuális sebesség fogalmát. A k-adik anyagi pontra ható külső kényszererők (reakciók) eredője is fontos a rendszer leírásában.
Az Euler-Lagrange-egyenlet bizonyítása
Gerjesztett lengőrendszerek
A gerjesztett lengőrendszerek analitikus vizsgálata során harmonikus gerjesztést, erőgerjesztést és útgerjesztést elemzünk. A rezgésszigetelés is kiemelt fontosságú téma.
Több szabadsági fokú lengőrendszerek
Több szabadsági fokú lengőrendszerek esetében a mátrix együtthatós mozgásegyenlet kerül előtérbe. Vizsgáljuk a csillapítatlan szabad rezgést és a harmonikusan gerjesztett rezgéseket. A tengelyek kritikus fordulatszáma is fontos szempont a tervezés és üzemeltetés során. A kiadvány a gépészmérnöki gyakorlat számára legfontosabb témakörökre helyezi a hangsúlyt.
tags: #matrixos #mozgasegyenlet #rud