Hajlított Rudak Sajátfrekvenciájának Számítása és Elemzése

A rezgés és a rezonancia jelenségei alapvető fontosságúak a mérnöki tudományokban, különösen a szerkezetek tervezése és elemzése során. A sajátfrekvencia az a természetes rezgési ütem, amellyel egy rendszer, például egy hinta, inga, hangvilla vagy bármilyen más rezgésre képes test reagál külső behatásokra. Ha egy testnek lökést adunk, saját rezgést fog végezni, és ha nem kap folyamatosan lökéseket, a rezgések idővel lecsengenek. Azonban, ha a rezgés tágassága vagy amplitúdója szabályosan ismétlődő lökések hatására megnövekszik, rezonanciáról beszélünk.

A rezonancia jelensége mindennapi életünkben is megfigyelhető. Például a gyerekek hintája fokozatosan megáll, ha magára hagyjuk, viszont ha megfelelő ütemben folyamatosan lökjük, egyre magasabbra és magasabbra fog emelkedni. Ez akkor történhet, ha a lökések üteme megegyezik a hinta saját lengési ütemével. Drámaibb példa egy függőhíd rezonanciája, amely akár le is szakadhat, ha a menetelő katonák lépéseinek üteme megegyezik a híd sajátfrekvenciájával. Az egyik leghírhedtebb eset az 1940-ben, mindössze négy hónappal az átadás után egy vihar során ide-oda himbálózva összedőlt Tacoma-híd az USA-beli Washington államban, a Tacoma-tengerszoros felett átívelve. Ezek az esetek rávilágítanak a sajátfrekvencia és a rezonancia pontos ismeretének fontosságára a mérnöki tervezésben.

A Szilárdságtan Alapjai és a Rudak Igénybevétele

A szilárdságtan alapvető célja a testek külső erők hatására bekövetkező alakváltozásainak és a belső feszültségeknek a vizsgálata. Külső erő hatására a testekben alakváltozás lép fel. Ha az erő megszűnte után a test teljesen visszanyeri eredeti alakját, akkor az alakváltozást rugalmasnak nevezzük. A külső erő által létrehozott rugalmas alakváltozás függ az erő nagyságától, az igénybevétel fajtájától (pl. húzás, hajlítás), az alakváltozásnak kitett test geometriai adataitól, anyagi összetételétől, illetve minőségétől. Az igénybevételek bizonyos fajtáinál, valamint meghatározott geometriájú testek esetében az alakváltozást létrehozó erő és a deformáció közötti összefüggés ismert.

Ez a kiadvány, a BME Gépészmérnöki Karán alapképzésben oktatott Szilárdságtan tantárgy tematikájához igazodik, és elsősorban gépész- és mechatronikai mérnök hallgatóknak kíván segítséget nyújtani a szilárdságtan alapvető összefüggéseinek és módszereinek ismertetésével. Az itt közölt ismeretanyag a BME Műszaki Mechanikai Tanszék dolgozóinak több évtizedes oktatási tapasztalata alapján alakult ki, akik folyamatosan részt vettek a tantárgy tananyagának és oktatási módszereinek fejlesztésében.

Húzás és Young-modulusz

Tekintsünk egy hosszúságú és mindenütt keresztmetszetű egyenes rudat, melynek egyik végét rögzítjük. Másik végét a rúd tengelyének irányába eső erővel meghúzzuk. Az ilyen körülmények közötti terhelést nyújtásnak vagy húzásnak nevezzük. A kísérleteket különböző anyagból készült mintadarabok sorozatán megismételve azt találjuk, hogy az arányossági tényező az anyagra jellemző állandó. Az arányossági tényező helyett rendszerint annak reciprokát, az ún. rugalmassági-, nyújtási-, vagy Young-moduluszt (E) használják.

Ha az egyik végén rögzített hosszúságú és mindenütt keresztmetszetű egyenes rúd (vagy huzal) másik végét fokozatosan egyre nagyobb erővel húzzuk, akkor kezdetben a test rugalmas alakváltozást szenved. A rugalmassági határ elérése után a test képlékeny alakváltozást szenved. Legtöbb fémnél a rugalmas tartományt a képlékeny folyás követi. Ekkor a test kis erőnövekedés hatására is jelentősen (és maradandóan) megnyúlik. Végül az erő további növelésekor a test elszakad. Ez a folyamat alapvető a szerkezeti anyagok viselkedésének megértéséhez.

Hajlítás és Másodrendű Nyomaték

Rudak esetében általában nem hanyagolható el a nyíróigénybevétel integráljaként jelentkező hajlítónyomaték. Rudak normál igénybevétele esetén egy keresztmetszeten belül állandó a feszültség () eloszlása, így ha ez a feszültség eléri a folyáshatárt, akkor a teljes keresztmetszet megfolyik és a rúd elveszíti teherviselő képességét. Más a helyzet hajlítás vagy csavarás esetén.

Tekintsünk egy prizmatikus rudat, melynek igénybevétele tiszta hajlítás. Rugalmas alakváltozás esetén a rúdban ébredő maximális hajlító feszültség a Navier-képlet alapján számítható. Itt az egyenes rúd hossza, a keresztmetszetnek a lehajlás síkjára merőleges tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka. Például az tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékot az alábbi, a rúd teljes keresztmetszetére elvégzett integrál definiálja (1. ábra), ahol a keresztmetszet felületelemének a keresztmetszet súlypontján átmenő irányú tengelytől mért távolsága. A különböző alakú keresztmetszetekhez tartozó másodrendű nyomaték a fenti integrál segítségével kiszámítható.

Az alábbiakban két esetben (2. ábra) megadjuk az tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékot szolgáltató formulákat. Ez alapján a téglalap keresztmetszetű, egyik végén befogott és a másikon F erővel terhelt rúd lehajlása (3. ábra) meghatározható. Az állandó nyomatékkal terhelt rúd esetét az 5/a ábra szemlélteti. Az ábrán a vizsgált, deformációt szenvedő rúd az alsó. A felső az ún. négypontos hajlítás (két alátámasztási + két támadási pont) megvalósításához használt segédeszköz. A vizsgált tartót terhelő erőket az 5/b ábrán tüntettük fel. Ha a tartó bal oldalától elindulva jobb felé felrajzoljuk a keresztmetszeteket terhelő nyomatékokat, az 5/c ábrát kapjuk. A tartó középső részét állandó nyomaték terheli, ahol az érték meghatározható.

Lengő Rendszerek és Sajátfrekvencia Vizsgálata

A sajátfrekvencia meghatározása különböző lengő rendszereken keresztül történhet.

Matematikai Inga

Matematikai ingának nevezzük az egy súlytalan kötélből és egy tömegpontból álló rendszert. Ha egy fonálingát vizsgálunk, kellő hosszúságú fonál esetén a ráakasztott tömeg tömegpontként kezelhető, valamint a fonál tömege elhanyagolható, így ez jó közelítése a matematikai ingának. Kis kitéréseknél a lengésidő egyszerűen számítható, azonban nagyobb kitéréseknél a differenciálegyenlet nemlineáris, kitérés-idő függvény zárt alakban nem adható meg, a lengésidő kifejezése pedig szintén zárt alakban nem kifejezhető elliptikus integrált tartalmaz.

Fonálinga mérések:

• Legalább 6 hosszúságnál kell mérni 10 cm-től 1,5 m-ig.
• A kitérést úgy válassza meg, hogy az valóban kis kitérésnek legyen tekinthető, ugyanakkor jól megfigyelhető, mérhető legyen.
• Több lengés idejét mérje, és figyeljen a minél pontosabb stopperóra indításra és megállításra. Ismételjék meg többször is a mérést, és ne mindig ugyanaz mérjen.
• Ábrázolja a mért adatokat. Készítsen olyan grafikont, ahol az összetartozó értékekre lineáris függvény illeszthető.
• Az utolsó (leghosszabb) fonálhosszánál mérje meg a lengésidőt kis kitérés, de kétszeres és háromszoros tömeg esetében is.
• Fakultatív feladatként az utolsó (leghosszabb) fonálhosszánál végezze el a mérést nagyobb kitérések esetén is, és ábrázolja a lengésidőt a kitérés függvényében.

Torziós Asztal és Tehetetlenségi Nyomaték

A tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatos vizsgálatokat egy forgási rezgéseket végző torziós asztal (2. ábra) segítségével végezhetjük el. A rendszer egyensúlyi helyzetét egyik végén a tengelyhez, a másik végén a kerethez rögzített spirálrugó biztosítja. A csillapítatlan forgási rezgés amplitúdója elméletben állandó. A gyakorlatban megvalósítható rezgéseknél a mindig jelen lévő súrlódás miatt az amplitúdó folyamatosan csökken.

A csillapított mozgás leírására szolgáló egyenlettel (5) írható le a mozgás függvénye, ahol a csillapítási tényező, és a kezdeti feltételektől függő állandók. A rezgés amplitúdója exponenciálisan csökken. Ahhoz, hogy egy rezgőmozgást végző rendszert felhasználhassunk ismeretlen minta tehetetlenségi nyomatékának meghatározásához, vagy a Steiner-tétel igazolásához, ismernünk kell rendszerünket és annak fizikai jellemzőit. A további vizsgálatokhoz használt eszköz, a forgási rezgéseket végző torziós asztal fényképe a 2. ábrán látható.

Direkciós Nyomaték és Csillapítási Tényező Meghatározása

A direkciós nyomaték meghatározásánál a (2) egyenletből indulhatunk ki. A mérés pontosságának növelése érdekében célszerű meghatározni a függvényt. A csillapítási tényező meghatározása a (5) egyenlet felhasználásával lehetséges. A csillapítási tényező gyakorlati meghatározásánál célszerű a szélső helyzetek figyelembevétele. A csillapítási tényező ismeretében dönthető el, hogy a rendszer csillapítatlan vagy csillapított mozgást végzőnek tekinthető-e. Ha, akkor a (6) összefüggés alapján a torziós asztal mozgása csillapítatlan mozgásnak tekinthető, feltételezve, hogy a csillapítás nem változott. Ha a zárójelben lévő kifejezés második tagja nem éri el az első tag 0,01-ed részét, úgy az elhanyagolható és a lengés csillapítatlannak tekinthető.

A feladatot a (2) összefüggés felhasználásával kell megoldani. A szögelfordulás az asztalon található fokbeosztás segítségével határozható meg. A csillapítási tényező értékét a (7) összefüggés segítségével kell meghatározni. A lengésidőt - itt, és a továbbiakban is - legalább 5-5 lengés idejét mérve maximum 180°-os amplitúdóval indulva legalább ötször kell megmérni. Az így kapott lengésidők átlagát kell használni a továbbiakban. A lengési amplitúdó csökkenésének vizsgálatánál 90°-os kitérésből kell indulni, és 20 lengés után megmérni a lecsökkent amplitúdót.

Steiner-tétel és Tehetetlenségi Nyomaték

Helyezzünk a torziós asztalra a 3. ábra szerint egy mintát, mely az asztal egy pontja körül (P) körbe forgatható. Az ábrán látható jelölésekkel a Steiner-tétel és a koszinusz tétel alkalmazásával a minta tehetetlenségi nyomatéka az O ponton átmenő tengelyre vonatkozóan, ahol a minta súlypontján (S) átmenő, a rendszer forgástengelyével párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, a tömege és a minta súlypontjának távolsága a P ponttól.

Ha a mintát körbeforgatva mérjük a rezgésidőket, egy (14) alakú függvényt kapunk. A mérési pontokra görbét illesztve és értéke meghatározható, melyek ismeretében a (14)-ben szereplő két ismeretlen ( és ) is kiértékelhető. Belátható, hogy a minta forgatása közben a legnagyobb lengésidőt akkor kapjuk, amikor a súlypont a legmesszebb van az O forgástengelytől és a lengésidő akkor a legkisebb mikor a minta súlypontja a legközelebb van O-hoz. Összefüggések adják meg, melyekből és szintén meghatározhatóak. A fenti eljárást a minta egy másik pontja körüli forgatásra megismételve, meghatározható a súlypont távolsága ettől a ponttól is.

A tárcsa tehetetlenségi nyomatékát több módon is ki lehet számítani:

• Az összefüggés alapján. A tárcsa anyaga alumínium (= 2700 kgm−3).
• A rúgó direkciós nyomatékának, a rendszer lengésidejének és csillapítási tényezőjének ismeretében.
• Ismert tehetetlenségi nyomatékú minta felhasználásával. Az ismert tehetetlenségi nyomatékú minta egy középen kis furattal ellátott korong. A korong tömege ismert (rá van írva), sugarát meg kell mérni és ki kell számítani tehetetlenségi nyomatékát. Az ismert tehetetlenségi nyomatékú mintát a közepén lévő furat és egy csavar segítségével kell rögzíteni az asztal közepére. A torziós asztal lengésidejét és csillapítási tényezőjét korábbról ismeri. Fontos megjegyezni, hogy a számítás során két egymáshoz közeli mennyiség kivonása nagyban megnöveli a hibát.

Mintavizsgálat és Súlypontmeghatározás

A mérőhelyen található mintát - amelynek tömegét ismeri (rá van írva) - rögzítse a torziós asztalra a mintán található furat és egy csavar segítségével. Mérje meg a rendszer lengésidejét a mintának a rögzítési pont körüli elforgatása és 30°-onkénti rögzítése mellett. (Ilyen módon 12 különböző lengésidőt mérhet. Minden lehetséges rögzítési pont körül 30°-os szögbeosztás található.) Ábrázolja a mért lengési idők négyzetét az elforgatási szög függvényében. Illesszen a mért adatokra megfelelő függvényt, és az illesztett függvény adataiból határozza meg és vagy és értékét, majd határozza meg a minta tehetetlenségi nyomatékát és a minta súlypontjának távolságát a mintán található furattól. Ismételje meg a feladat első részét a mintán található másik furat felhasználásával. Ennek a mérésnek az elvégzése után megadhatja a súlypont helyét a mintán található furatoktól mérhető távolsága segítségével.

Fakultatív feladatként az ismert tehetetlenségi nyomatékú kis korongot rögzítse a torziós asztal tengelyétől különböző távolságban lévő rögzítési pontokhoz, és mérje meg a rögzítési pontokhoz tartozó lengési időket. Mérési eredményei alapján ábrázolja a függvényt. Mérési pontjaira illesszen egyenest. Az egyenes paramétereiből határozza meg a rendszer direkciós nyomatékát és tehetetlenségi nyomatékát.

Hajlított Rudak Lehjlásának Vizsgálata

A gépészmérnöki tervezés részét képező szilárdsági méretezés módszereinek és legjelentősebb alkalmazási területeinek ismertetése kiemelten fontos. A fogalmak, a matematikai összefüggések és magyarázatok mellett számos ábra segíti a tartalom megértését és gyakorlati alkalmazását. Ez a téma hiánypótló abban az értelemben, hogy a szakterület több, az alapszintű gépészmérnök képzésben nem szereplő részét tárgyalja. A tárgy sokéves tanítása során bebizonyosodott, hogy a fejlesztő mérnöki munka fontos része a méretezési elmélet és gyakorlat szoros kapcsolatának felismerése és megértése.

Négypontosan terhelt rúd lehajlásának mérése:

• Négypontosan terhelt rúd lehajlásának mérésével ellenőrizze az állandó nyomatékkal terhelt, téglalap keresztmetszetű rúd lehajlására levezetett kifejezést.
• A kapcsolat meghatározásánál egyetlen mintadarabot alkalmazunk, azaz rögzített geometria mellett változtatjuk a terhelő nyomatékot, és mérjük a hozzá tartozó értékét.
• Az összefüggés ellenőrzésénél állandó értéke mellett különböző vastagságú, de azonos szélességű mintadarabok deformációját mérjük állandó terhelő nyomatékkal. Hasonló módon vizsgálható az összefüggés is.
• A méréseket alumínium mintákkal kell elvégezni.

A hajlított rudak sajátfrekvenciájának pontos számítása és elemzése elengedhetetlen a biztonságos és hatékony szerkezeti tervezéshez. A fenti elméleti és gyakorlati megközelítések segítik a mérnököket abban, hogy megértsék és előre jelezzék a szerkezetek viselkedését különböző terhelési körülmények között, minimalizálva ezzel a rezonancia okozta károk kockázatát.

tags: #hajlitott #rud #sajatfrekvencia #szamitas