Az algebrai kifejezések a matematika nyelvén olyan struktúrák, amelyekben betűk és számok szerepelnek, véges sokszor vett összegek, különbségek, szorzatok, hányadosok, egész kitevőjű hatványok és gyökök formájában. Ezek a kifejezések alapvető fontosságúak a mennyiségi összefüggések leírásában. Egyváltozós kifejezésről beszélünk, ha abban csak egy betű szerepel, míg a több különböző betűt tartalmazó kifejezést többváltozósnak nevezzük. Példaként említhető egy többváltozós algebrai kifejezés: 2a + 3b + 4c + 1.
Az algebrai műveletek alapjai
A matematika alapvető műveletei - az összeadás, a kivonás, a szorzás és az osztás - az algebrai kifejezések körében is értelmezhetők. A természetes számok összeadása tulajdonképpen az összeadandók, azaz a tagok egymáshoz számlálása. Az összeadás fogalma az egész, racionális, valós és komplex számok halmazára, valamint a polinomok, vektorok és mátrixok körére is kiterjeszthető. Az összeadás műveletét + jellel jelöljük: a + b = c, ahol a-t és b-t tagoknak (vagy összeadandóknak), c-t pedig összegnek hívjuk.
Polinomokat tagonként adunk össze, ahol az azonos nemű tagok vonhatók össze. Például (x - 3) + (2x2 + 3x - 7) = 2x2 + 4x - 10. A valós számok szorzása disztributív az összeadásra nézve, hiszen bármely valós számra (a + b)c = ac + bc. A szorzás jele Magyarországon általában pont, de a világ más részein × is lehet. Kifejezésben a-t és b-t tényezőknek (vagy faktoroknak), c-t pedig szorzatnak nevezzük. A természetes számok szorzása tulajdonképpen ismételt összeadás, például 5-ször három olyan öttagú összeg, amelynek minden tagja 3. Két polinomot úgy szorzunk össze, hogy minden tagot minden taggal megszorzunk.
A kivonás az összeadás fordított művelete: egy a számból kivonni egy b számot annyit jelent, mint olyan x számot keresni, amelyre b + x = a teljesül. Míg a természetes számok körében a kivonás nem végezhető el korlátlanul, az egész számok körében mindig elvégezhető, azaz az egész számok halmaza zárt a kivonásra nézve. Hasonlóan, az osztás a szorzás fordított művelete: a-nak b-vel való osztása egy olyan x mennyiség meghatározását jelenti, amelyre bx = a teljesül. A racionális, valós és komplex számok körében az osztás korlátlanul elvégezhető, ami azt jelenti, hogy ezek a halmazok zártak az osztásra nézve.
Polinomok szorzása
Polinomok és nevezetes azonosságok
A polinomnak vagy többtagú algebrai kifejezésnek nevezzük azt a kifejezést, amelyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak összegei,