A természet számtalan olyan objektummal rendelkezik, amelyek többszöri nagyítás után is részletesen struktúráltak, még egy erős mikroszkóp alatt is „gyűröttek” maradnak. A tudósok csak az utóbbi évtizedekben ismerték föl, hogy ezekkel az alakzatokkal érdemes foglalkozni, s megszületett egy újfajta geometriai objektum, a fraktál. A fraktálok egészen sajátos képződmények: egyrészt nagyon összevisszák, másfelől viszont szigorú matematikai törvényszerűségeket követnek. Ezek olyan alakzatok, amelyek valamiképpen önhasonlóak, azaz valamely kisebb részük kinagyítva (és esetleg elforgatva) megegyezik az eredeti alakzattal. Egy kézenfekvő példa ide a Sierpinski-háromszög. Fontos megjegyeznünk, hogy a természetben előforduló fraktál nem lesz minden lépték mellett fraktál alakzat, hanem e helyett általában csak a hosszúsági skála 10- vagy 100-szoros nagyításáig. A fraktál fogalmát Benoit Mandelbrot alkotta meg a latin fractus (megtört) szóból. Mandelbrot ezzel foglalkozó, egyszersmind az egész tudományágat megalapozó 1975-ös dolgozatát megelőzően a tőzsdei árfolyamok szabálytalan cikázását, a felhők formáit, a villámok útját vagy éppen a partvonal-problémát vizsgálva vett észre különös szabálytalanságokat és szabályszerűségeket, és ezek vezették el a fraktál, mint fogalom megalkotásához.
Fraktálok a természetben és a mindennapokban
A természetben nemcsak euklideszi idomok vannak, mint pl. kockák, gömbök, stb. Számtalan jelenség, mint például a felhők, a fák ágai, a villámok útja vagy éppen a hegyek vonulatai mind fraktálként írhatók le. Az önhasonló vagy statisztikailag önhasonló alakzatok tehát hajlamosak arra, hogy dimenziójuk a megszokottnál magasabb legyen, vagy éppen alacsonyabb. A fraktálok diadalútja az 1900-as évek közepén kezdődött, amikor a dinamikai rendszerek úgynevezett kaotikus attraktorairól kiderült, hogy azok is fraktálszerűek.A partvonal-problémával már Mandelbrotot megelőzően az 1900-as évek elején Lewis Fry Richardson angol matematikus is foglalkozott, amikor térképészeti adatokat gyűjtött különböző országok határvonalainak hosszáról. Feltűnt neki, hogy például a Portugália és Spanyolország között húzódó határvonal hosszát a két ország térképészei más-más hosszúságúnak mérték. Vizsgálódásait folytatva arra jutott, hogy szinte alig van olyan eset, amikor a közös határvonalat a két szomszédos ország egyforma hosszúnak mérte volna, és leírt egy különös jelenséget, amelyet azóta Richardson-effektusnak neveznek. Ennek lényege tulajdonképpen nem más, mint a képzeletbeli földmérő problémája a képzeletbeli tengerparton, nevezetesen az, hogy minél kisebb mérőrudakat használunk a partvonal hosszának lemérésére, annál nagyobb érték jön ki. Richardson ezt gondolatkísérlettel szemléltette, amelyben megpróbálta lemérni a Brit sziget partvonalának hosszát. Ha 200 kilométer hosszú mérőrudakat használunk úgy, hogy a partvonalhoz illesztjük azokat, akkor 12 darabra van szükség, és 2400 kilométer jön ki. Ha feleakkorákat, akkor azokból már 28 darab kell, és így azt kapjuk, hogy a partvonal hossza 2800 kilométer. Fölvetődhet a kérdés, hogy vajon ugyanezek a problémák miért nem merülnek föl például egy kör kerületének a meghatározásánál. A titok a fraktálok töredezettségében van. A kör ugyanis egy sima alakzat, minél jobban belenagyítunk, annál inkább hasonlít egy egyenes vonalra. Ezt a tulajdonságot a matematikában úgy nevezik, hogy differenciálható. A fraktálok viszont éppen arról híresek, hogy belenagyítva eszük ágában sincsen kiegyenesedni, ugyanolyan komplikáltan néznek ki, mint azelőtt.
Fraktálok létrehozása és felfedezése szoftverrel
A fraktálok és a Mandelbrot halmaz világa poszterkészítéshez is kiváló alapot nyújthat. A Fractal Explorer (Windowshoz) programmal könnyedén generálhatunk fraktálképeket. A program külön telepítést nem igényel, elegendő egy könyvtárba kicsomagolni, ezután az fe.exe fájlra duplán kattintva indítható el. Az alábbiakban a talán legismertebb fraktálon, a Mandelbrot halmazon keresztül mutatjuk be az alapvető funkciókat, de a program sok másfajta fraktál generálására is alkalmas.Nem kell sokat bajlódnunk a program elindítása után sem, az első ikonra kattintva (New fractal) már el is kezdhetjük a Mandelbrot-halmaz „vidékeinek” felfedezését. A Size menüpont alatt állíthatjuk be a kép méretét, például 640×640 pixelre. Így már több részlet látható. Ez a felbontás egyébként tetszőlegesen nagy lehet, de a barangoláshoz, a kísérletezgetéshez az ilyen kisebb felbontás tökéletesen elegendő. Később, ha tetszik a kép, bármikor beállíthatunk egy nagyobb felbontást, és a program kiszámítja a képet az újonnan beállított felbontásban. A képeket természetesen el is menthetjük a File menüpont alatti Save Image… paranccsal. A képek elkészítéséhez a számítógépnek rengeteg műveletet kell elvégeznie, így természetesen minél nagyobb felbontást állítunk be, annál tovább kell várnunk a kép elkészülésére. A várakozási idő attól is függ, hogy a fraktál mely részletét nagyítjuk ki.
Mandelbrot-halmaz nagyítás
A felfedezőút a Mandelbrot halmazban
Az egér bal gombját nyomva tartva tudjuk kijelölni a képen azt a területet, amelyet szeretnénk közelebbről megvizsgálni. A téglalap sarkait mozgatva módosíthatjuk, illetve a téglalapon belül nyomva tartva az egérgombot, át is helyezhetjük a kijelölést. Ha a kijelölt részen belül duplán kattintunk, a program kiszámolja az adott részlet képét a beállított felbontásban. Gyakorlatilag egy mikroszkóphoz hasonlóan, lépésről lépésre nagyíthatunk egyre nagyobb és nagyobb mélységekbe a Mandelbrot halmaz végtelen gazdagságú részleteibe. A lényeges különbség a valósághoz képest, hogy itt elméletileg a végtelenségig folytathatjuk a nagyításokat, egyedül a számítógép műveleti pontossága szab határokat.A Mandelbrot halmazban való kalandozást bármikor szüneteltethetjük, vagyis az aktuális állapotot elmenthetjük - File menü / „Save project (spot) as”, illetve „Open project (spot)”. Majd később azt megnyitva, onnan folytathatjuk, ahol abbahagytuk.
Pontosság és részletgazdagság beállítása
Az Edit formula… ikonra kattintva finomíthatunk a kiszámított kép pontosságán. Itt állíthatóak be a fraktál fő paraméterei. A fraktál kép pontosságát, illetve részletgazdagságát jelentősen befolyásolja, hogy mennyi számítási ciklust (iterációt) engedélyezünk végrehajtani a programnak. Egyes képpontoknál ez a kérdés néhány iteráció után eldől (ezek nem részei a halmaznak), viszont más pontoknál (közelebb a halmaz határvidékéhez, illetve a halmazon belül) sokkal több ciklus után derül csak ki. Itt, az iterációk maximális számát növelve tehát, lehetőséget adunk arra, hogy a Fractal Explorer jóval pontosabban közelítse meg az elméleti, optimális képet. Persze ez egyben a számítási időt jelentősen növeli.A fent is látható képek érdekes színes motívumai valójában nem a halmaz részei (azok a fekete területek). A színeket az határozza meg, hogy a kép kiszámítása során az adott pontról hány iteráció után dőlt el, hogy az nem a halmaz része. Pl. 200 ciklus esetén sötétkék, 250 esetén egy világosabb kék, és így tovább. Az a pont, amely estében az általunk beállított maximális iteráció után sem tudta eldönteni a program, hogy része-e a Mandelbrot halmaznak, az fekete színt kap, és úgy tekintjük, hogy eleme a halmaznak. Valódi képet a halmazról csak akkor kapnánk, ha az iterációt végtelen magasra állítanánk, de ez esetben sajnos a program futása is végtelen sokáig tartana.
A színezés művészete
A képek megjelenését alapvetően meghatározza a hozzájuk rendelt színskála. Például egy érdektelennek tűnő terület egy más színskálával tobzódó indák és kacsok spirális örvényét mutathatja. A kép színezése azon alapul, - illetve az egyes képpontokhoz az alapján rendelünk színeket -, hogy hány műveletet kellett végrehajtania rajta a programnak. Ezt úgy is felfoghatjuk, hogy a feketére színezett halmaz körül egyfajta erőtér található. Mi ezt az erőteret színezzük ki annak megfelelően, hogy az milyen erős egy adott területen. Tehát az Edit palette ikonra kattintva szerkeszthetjük a színskálát és annak viszonyát a képünkhöz.A színskála módosítása inkább kísérletezés és ízlés dolga, így erről bővebb ismereteket főképp saját tapasztalat útján érdemes szerezni. Ha nem szeretnénk lépcsőzetes színátmeneteket kapni, akkor a fő programablak Fractal menüpontja alatt az „Enable smoothing” pontot pipáljuk ki. Így szép folyamatos lesz a színskála. De persze ez is ízlés kérdése, sok kép éppen a lépcsőzetes színskála okozta „zebracsíkosság” miatt lehet érdekes. A színskálák el is menthetőek az Edit palette ablakban, a „Palette browser” pont alatt.Néhány project fájlt letölthet oldalunkról is, a jobboldalon található linkek között. Ezek is tartalmazzák a színskálákat, így egy kis segítséget nyújtanak a beállítások megértéséhez. Ezek a fájlok kicsomagolás után a „File/Open project (spot)…” paranccsal nyithatók meg a Fractal Explorerben.Ha szeretne posztert rendelni egy Ön által készített fraktál képből, megteheti a Megrendelés menüpont alatt!Kellemes barangolást a Mandelbrot-halmaz partvidékén!
Fraktálok és a dimenzió fogalma
Ilyen alakzatokat nem csak a papírlapon, hanem térben is képesek vagyunk előállítani, és ami azt illeti, a természet bővelkedik is ezekben. Itt van például egy fenyőfa. Ahogyan a képzeletbeli tengerpartunk egy végtelenül hosszú vonal, úgy a fenyőfa egy végtelenül szerteágazó felületű kúp. Nem ok nélkül természetesen. Az ember tüdejéhez hasonlóan a fenyőfa is azt szeretné, hogy a lehetőségekhez képest a legnagyobb legyen a felülete, és így a lehető leghatékonyabban legyen képes a levegővel érintkezve a légcserére. Ezt, hogy egy alakzat mennyire van jelen vagy épp mennyire nincs a rendelkezésére álló térben, jól szemlélteti az úgynevezett Sierpinski-féle szőnyeg.A Sierpinski-szőnyeg egy teljesen hétköznapi kétdimenziós alakzatból, egy négyzetből keletkezik, de közben elveszíti területét, és így, mintha a dimenziója is csökkenne. Mindenki tudja, hogy egy kocka háromdimenziós, egy négyzetlap kétdimenziós és egy szakasz egydimenziós. Érdemes azonban egy kicsit közelebbről is megnézni, hogy pontosan mit is jelent a dimenzió fogalma. Ennek megértéséhez vegyünk egy egyszerű példát. Van egy szakaszunk, aminek a hossza 1 méter, és most szeretnénk egy olyan szakaszt, aminek a hossza kétszer akkora. A dimenzió tehát a következő érdekes módon definiálható. Van egy alakzatunk, amit szeretnénk k-szorosára nagyítani. Megszámoljuk, hogy célunk eléréséhez hány darabot kell egymás mellé tenni az eredeti alakzatból, ez legyen N darab. Ha előveszünk egy számológépet és kiszámoljuk, hogy mi jön ki, mondjuk egy kocka megduplázásánál, amikor k=2 és N=8, vagy mondjuk mi jön ki egy négyszer akkora kockánál, amikor k=4 és N=64, azt tapasztaljuk, hogy a kapott eredmény 3, ami megnyugtató, mert a kockának a dimenziója tényleg 3 kell legyen. A dimenziónak ezt a szokatlan megközelítését egy német matematikus, Felix Hausdorff találta ki és Hausdorff dimenziónak nevezzük.Nézzük meg például, hogy mekkora a Sierpinski-szőnyeg dimenziója. Ehhez azt a kérdést kell föltenni magunknak, hogy hány darab Sierpinski-szőnyegre van szükség egy háromszor akkora megalkotásához. Lássuk most mi a helyzet a Koch-görbével. A Koch-görbe tehát sűrűbben tölti ki a síkot egy átlagos egydimenziós görbénél. Van azonban olyan görbe is, ami ennél sokkal meglepőbb dolgot tud. Az így keletkező alakzatot Hilbert-görbének nevezzük. Számoljuk most ki a Hausdorff dimenzióját. Ahhoz, hogy egy kétszer akkora Hilbert görbénk legyen, négy kisebbet kell egymás mellé tennünk, tehát ha k=2 akkor N=4. A Hilbert-görbe dimenziója tehát éppen kettő, így pontosan olyan sűrűn tölti ki a síkot, mint az a négyzetlap, amiben elhelyezkedik. Egy kevés számolással igazolható, hogy a Hilbert-görbe valóban teljesen hézagmentesen kitölti a négyzetlapot, vagyis annak minden egyes pontján áthalad, ugyanakkor minden pontjában folytonos is. Ez roppant különössé teszi, mivel így a görbe minden egyes pontjában sajátmagával határos.
Kaosz és a pillangóhatás
Maguk a dinamikai rendszerek tulajdonképpen matematikai konstrukciók, amelyek egy állapottérrel leírt rendszer bizonyos állapotainak rögzített szabályok szerinti (általában) időbeli változásával foglalkoznak. Ilyen rendszer például az időjárás. Az 1940-es években a „valódi” komoly meteorológusok szemében az előrejelzés nem volt igazi tudomány. Inkább csak amolyan találgatásnak tekintették, a műszerek által mért pontos adatokból történő megérzésen alapuló jóslásnak. Egy matematikus gondolkodással és látásmóddal megáldott meteorológus, Edward Norton Lorenz azonban eltökélte, hogy ezt a jóslást a megérzések szintjéről a matematikai rendszerek világába emeli át. A számítógépek fejlődése lehetővé tette számára, hogy 1960-ra elkészítse bolygónk meteorológiai rendszerének egy végtelenül leegyszerűsített modelljét. Az eredmény láttán először arra gondolt, hogy elromlott a gép, ugyanis teljesen más eredményeket kapott, mint korábban. Elkezdte hát kutatni a hiba okát. A gépet úgy alkotta meg, hogy számításait hat tizedes jegy pontossággal végezze, ám a végeredményt csak négy tizedes jegy pontosan írja ki. Amikor kézzel táplálta vissza a négy tizedes jegy pontosságú adatokat, úgy gondolta, hogy ez a picike pontatlanság nem lesz jelentős hatással a teljes számolás végeredményére. Mint utóbb kiderült, ez az eltérés drámaian nagy hatással volt a végeredményre.Képzeljünk el egy félgömb alakú tálat egy golyóval. Ha a tálba beleejtjük felülről a golyót, akkor az ide-oda gurulva előbb-utóbb megállapodik a tál közepén. Ha egy kicsit távolabbról, vagy egy kicsit más szögben ejtjük bele a golyót, az eredmény kicsit más lesz, de végül ugyanúgy megáll a tál közepén. Most fordítsuk fel a tálat és ejtsük rá a golyót így. Még akkor, ha egészen pontosan a tál középpontja felett engedjük el a golyót, sem tudjuk megjósolni, hogy vajon melyik oldalon fog legurulni, pláne azt nem tudjuk megmondani, hogy a golyó hol fog végül megállapodni. Ha a tál bal oldalán leguruló golyó azt jelenti, hogy holnap esni fog az eső, a jobb oldalon leguruló, hogy sütni fog a nap, és a kezdeti érték - a mai napi mérési adatok - azt jelzik, hogy jobbra ejtjük le a golyót, akkor a meteorológus hátradőlhet székében és kijelentheti, hogy nem fog esni. Ez a jelenség a pillangó-hatás, ahol egy apró kezdeti eltérés óriási különbségeket okozhat a hosszú távú kimenetelben.
Fraktálok és pénzügyi előrejelzések
Az időjárási előrejelzésekkel rokon vonást mutat a tőzsdei árfolyamok vagy éppen a devizaárfolyamok előrejelzésének problémája. A pillangó-hatás itt is érvényesül, egy-egy cég vezetőjének elhalálozása, egy-egy váratlan ipari baleset beláthatatlan következményekkel lehet az árfolyamok alakulására, és a hatás tovagyűrűzve kihat az egész világ gazdaságára. Az árfolyamgörbék vizsgálata azért is érdekes, mert ezek a grafikonok maguk is fraktálok. Rendelkeznek a skálafüggetlenségnek nevezett tulajdonsággal, ami röviden annyit jelent, hogy ha a világ legtapasztaltabb brókere elé odateszünk skálázás nélkül egy árfolyamgörbét, nos még ő sem lesz képes megállapítani, hogy ez vajon egy hónap vagy egy 10 éves időszak árfolyammozgásait tartalmazza-e. Az árfolyamgörbék vizsgálata és az erre épülő előrejelzés így aztán meglehetősen reménytelen vállalkozásnak tűnik. Ám éppen az ad lendületet a káoszelméletbeli kutatásoknak, hogy a káoszban is képesek legyünk észrevenni bizonyos törvényszerűségeket.Harold Edwin Hurst a Nílus vízállásának adatait tanulmányozva figyelt föl arra a jelenségre, hogy egy nagyobb áradást rendszerint újra nagyobb áradás követ. Az adatok részletes statisztikai elemzésére kidolgozott egy érdekes mutatót, az úgynevezett Hurst-exponenst. Ez egyfajta fokmérője a mindennapi életből ismert pozitív és a negatív visszacsatolásnak. Ha a Hurst-exponens éppen 0,5 az azt jelenti, hogy a folyamat teljesen véletlenszerűen megy végbe, vagyis a golyót éppen a fejre állított üvegtál középpontja felett engedjük el. Ha a Hurst-exponens 0,5-nél nagyobb, akkor egyfajta pozitív visszacsatolás fedezhető fel, vagyis az árfolyamoknál maradva egy adott deviza erősödése újabb erősödést von maga után. Ha pedig ez a szám 0,5-nél kisebb, akkor negatív visszacsatolás van, tehát ha ma erősödik az árfolyam, akkor holnap gyengülni fog. Ezek a törvényszerűségek természetesen nagyon sérülékenyek, és a sokat emlegetett pillangó-hatás következtében váratlanul el is tűnhetnek vagy épp az ellenkezőjébe fordulhatnak át. Ugyanakkor érdekes megemlíteni, hogy a hazai részvényindexnek, a BUX-nak a Hurst-exponense az utóbbi pár év adatai alapján 0,7 körül mozog. Vagyis, bár az árfolyam mozgása kaotikus, egy emelkedéssel záró nap után másnap is inkább emelkedésre, míg egy gyengüléssel záró nap után inkább gyengülésre számíthatunk. Ezek a Hurst-exponens értékek által uralt időszakok természetesen az árfolyammozgáshoz hasonlóan szintén sérülékenyek, tehát a Hurst-exponens értékének alakulása maga is fraktálszerű.
Mandelbrot-halmaz nagyítás
Papír csigák - egy fraktál inspirálta játék
„Bezzeg az én időmben!” Inkább mutatok egy örök kedvencet azokból a régi, „békebeli” időkből. A csigafuttatáshoz nem kellenek drága alapanyagok. Vágjunk a csigák testének egy-egy 17×2,5 cm-es, a házuknak pedig egy-egy 29×2,5 cm-es csíkot, lehetőleg különböző színből, hogy vidámabbak legyenek a csigáink. Gépírópapír például tökéletesen megfelel a célnak. A testre, a középvonaltól kicsit feljebb rajzoljuk fel a csiga arcát. Ezután hajtsuk félbe a csíkot, és a két végét kb. fél centis ragasztással rögzítsük. A csigaházhoz lazán tekerjük fel a hosszabbik csíkot úgy, hogy egy kisebb és egy nagyobb kört kapjunk. A csík végei egymás fölé essenek. Ragasztóval rögzítsük a csík mindkét végét, majd az egész házat ragasszuk hozzá a csiga testéhez. A csiga szarva kb. fél centis papírcsíkokból készül. Ha elkészült a csigacsapat, kezdődhet a verseny. Az asztal egyik végén sorban állnak a csigák és a hajtók. A cél az, hogy fújással eljuttassák a csigákat az asztal másik végéig. Az győz, akinek a csigája hamarabb célba ér.
